代数学II要約 No.6

第6回目の主題 :

次のことをこの講義からしばらくの間の目標にしよう。

定理 6.1   PID $A$ 上の有限生成加群は必ず $A/(a)$ の形の加群の直和である。

言葉の確認から:

可換環 $A$ は、0 以外に零因子を持たないとき整域と呼ばれるのでした。

定義 6.2   整域 $A$ が PID (principal ideal domain, 主イデアル整域) であるとは、 $A$ の任意のイデアルがひとつの元で生成されるときにいう。

「余りを許した割り算」が必ずできるような整域のことを ユークリッド整域と呼ぶのでした。

次の定理は代数IB で学習済みのことと思います。

定理 6.3   ユークリッド整域は必ずPIDである。

定理 6.4   PID はかならずUFD である。すなわち、素因数分解の一意性が成り立つ。

これらの諸定理から、次のことがすぐに分かる。

命題 6.5   PID $A$ 上の加群が、ひとつの元で生成されるなら、 それは $A/A a$ $(\exists a \in A)$ の形の加群と同型である。

補題 6.6   PID $A$ 上の加群 $M$ が2つの元 $m_1,m_2$ で生成されているとし、

$$a_1 m_1+ a_2 m_2=0$$

なる関係式が成り立っていたとする。このとき、

次のような $m_1', m_2'$ が存在する。

1. $m_1', m_2'$ は $M$ の生成元である。
2. $d m_1'=0.$ (ただし $d$ は $a_1$ と $a_2$ の最大公約元。)

命題 6.7   可換 PID $A$ の元 $a,b$ に対して、イデアル $A a + A b$ は ある単項イデアル $A d$ と等しい。このとき、ある $a',b',x,y$ が存在して、 次の二式が成り立つ。

1. $a= a' d$ ,    $b=b' d$ .
2. $a' x + b' y =1$ .

とくに、

$$\begin{pmatrix} a' & b' \\ -y & x \end{pmatrix}$$

は $\operatorname{SL}_2(A)(\subset {\operatorname{GL}}_2(A))$ の元である。

命題 6.8   可換 PID $A$ のイデアルの増加列

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

は必ず有限で止まる。すなわち、ある $N$ があって、

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

が成り立つ。