代数学 II 要約 NO.8

第 8 回目の主題 : PID 上の有限生成加群 (補遺 2)

補題 8.1. \underline{x} ∈ 𝒮_{M} と、その関係式 (a_{1}, …, a_{k}) を全て考える。これらの全ての組み合わせについて、 gcd(a_{1}, a_{2}, …, a_{k}) を考えた時、それらの中で (整除に関して) 極小なものが存在する。その一つを以下 d_{0} と書こう。このとき、

(1) d_{0} = 0 なら M は自由加群である。以下、 d_{0} ≠ 0 とする。

(2) ある (u_{1}, u_{2}, …, u_{k}) ∈ 𝒮_{M} が存在して、

d_{0} · u_{1} = 0

なる関係式が成立する。

(3) \underline{u} の任意の関係式 (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{k}) について、その各成分 a_{1}, a_{2}, …, a_{k} は各々 d_{0} で割り切れる。

(4) M は Au_{1} と Au_{2} + ⋯ + Au_{k} の直和と同型である。

この補題を用いると、前回の定理よりすこし強い主張をすることができる。

定理 8.2. 可換 PID A 上の有限生成加群 M が与えられているとする。このとき、 M の生成系\underline{m} = \{m_{1}, m_{2}, …, m_{k}\} にたいして、\underline{m} を (変換 1),(変換 2),(変換 3) を有限回繰り返すことにより、 M の新しい生成系\underline{w} であって、

M ≅ Aw_{1} ⊕ Aw_{2} ⊕ ⋯ ⊕ Aw_{k} ≅ A/a_{1}A ⊕ A/a_{2}A ⊕ ⋯ ⊕ A/a_{k}A (a_{1}, …, a_{k} ∈ A)

(巡回加群の直和) となるものが存在する。さらに、上の同型は a_{k}|a_{k−1}|a_{k−2}| … |a_{2}|a_{1} となるように取れる。

系 8.3 (有限生成アーベル群の基本定理). 任意の有限生成アーベル群 G は巡回群の有限個の直和である。もっと詳しくは、 G は

ℤ/a_{1}ℤ ⊕ ℤ/a_{2}ℤ ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/a_{k}ℤ

(a_{1}, a_{2}, …, a_{k} ∈ ℤ) という加群とアーベル群として同型である。

応用として、次の定理を挙げておく。

定理 8.4. 体 K の乗法群 K^{×} の有限部分群は常に巡回群である。とくに、有限体の乗法群はかならず巡回群である。