代数学 II 要約 NO.12

今日のテーマ: 「群の表現」の定義、正則表現

環 A と有限群 G が与えられているとき、群環 A[G] が定義される。実は、 G は A[G] 自体の上に表現できる。このことを、とくに R が体 K のときに詳しく見てみることにする。

定義 12.1. 環 A と群 G が与えられたとき、 A 上の G の群環 A[G] とは、形式的な有限和の集合

A[G] = {∑_{g∈G} a_{g}g ; a_{g} = 0 ∀′g ∈ G}

に形式的に和、積を導入したものである。 ( 「∀′•」は「有限個の例外を除いて全ての • に対して」

という意味である。 ) 具体的には、和、積は次のように与えられる。 (1) ∑_{g} a_{g}g + ∑_{g} b_{g}g = ∑_{g}(a_{g} + b_{g})g.

(2) ∑_{g} a_{g}g · ∑_{g} b_{g}g = ∑_{g}(∑_{h} a_{h}b_{h^{−1}g})g

定義 12.2. 体 k が与えられているとする。群 G の k 上の n-次線形表現 Φ とは、群準同型 Φ : G → GL_{n}(k) のことである。

命題 12.3. 群 G の k 上の n-次線形表現 Φ が与えられたとき、 A[G] の k^{n} への作用が

(∑_{g} a_{g}g).v = ∑_{g} a_{g}Φ(g)v (v ∈ k^{n})

で定まる。

K 上の G の n-次元表現 Φ が決まると、 K[G] の V = K^{n} への作用が命題 3.6 のように定まって、 V は K[G]-加群の構造を持つ。逆に、 K-上有限次元の K[G]-加群 V_{1} が与えられれば、 (すなわち、 K-ベクトル空間 V_{1} 上に G の作用が定まっていれば、 ) その基底を固定することにより、 G の表現が定まることが容易に分かる。行列を書くよりもその方が簡明であることが多いので、以下では多くの場合 K[G] の作用でもって表現を定義する。

補題 12.4. 有限群 G と体 K が与えられているとする。 K[G] 自身は K[G] 上の左加群とみなすことができる。この表現 λ を G の左正則表現と呼ぶ。

厳密にいえば、 G の元にどのように順番を付けるかによって G の各元を表す行列は違ってくる。ここでは G の元の順番は適当に付けて、それを明示した上で行列で表現することにする。

問題 12.1. 4 つの元の偶置換全体のなす群 𝔄_{4} の正則表現で、 (1 2 3) および (1 2)(3 4) に対応する行列を書き下しなさい。 (𝔄_{4} の元の順番を明示しておくこと。 )

問題 12.2. 位数 2n の二面体群

𝔻_{2n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, bab^{−1} = a^{−1}⟩

の正則表現で、 n = 2, 3 の場合 (できれば、もっと一般の場合も) a, b に対応する行列はどのようになるか答えなさい。 (二面体群については、すでに二年生段階で習っているはずなので、本問では詳しくは述べない。 )