代数学 II 要約 NO.13

第 13 回目の主題 : 作用

定義 13.1. 環 A と群 G が与えられたとき、 A 上の G の群環 A[G] とは、形式的な有限和の集合

A[G] = {∑_{g∈G} a_{g}g ; a_{g} = 0 ∀′g ∈ G}

に形式的に和、積を導入したものである。 ( 「∀′•」は「有限個の例外を除い

て全ての • に対して」という意味である。 ) 具体的には、和、積は次のよう

に与えられる。 (1) ∑_{g} a_{g}g + ∑_{g} b_{g}g = ∑_{g}(a_{g} + b_{g})g.

(2) ∑_{g} a_{g}g · ∑_{g} b_{g}g = ∑_{g}(∑_{h} a_{h}b_{h^{−1}g})g

定義 13.2. 体 k が与えられているとする。群 G の k 上の n-次線形表現 Φ とは、群準同型 Φ : G → GL_{n}(k) のことである。

命題 13.3. 群 G の k 上の n-次線形表現 Φ が与えられたとき、 A[G] の k^{n} への作用が

(∑_{g} a_{g}g).v = ∑_{g} a_{g}Φ(g)v (v ∈ k^{n})

で定まる。

問題 13.1. 5 次巡回群 C_{5} = ⟨a; a^{5} = e⟩ の上の ℂ 上の群環 ℂ[C_{5}] の次の計算をしせよ。 (答はできるだけ簡単にすること。 )

(e + a + a^{2} + a^{3} + a^{4})(e + a^{3})