代数学 II 要約 NO.15

今日のテーマ: 復習

定理 15.1. PID A 上の有限生成加群は A のいくつかの直和と、 A/p^{e}A (p は A の素元、 p ∈ ℤ_{>0}) の形の加群の直和と同型である。

注意。 PID A の元 f, g が互いに素ならば A/fA ⊕ A/gA ≅ A/(fg)A がなりたつ。

系 15.2. 有限生成アーベル群は ℤ のいくつかの直和と、 ℤ/p^{e}ℤ (p は素数、 p ∈ ℤ_{>0}) の形の加群の直和と同型である。

系 15.3. 体 𝕜 上の正方行列 L ∈ M_{n}(𝕜) が与えられたとする。 V = 𝕜^{n} に 𝕜[X]-加群の構造を

p(X).v = p(L)v (p ∈ 𝕜[X], v ∈ V)

により定義する。このときこの加群 V は 𝕜[X]/p(X)^{e}𝕜[X] ( p(X) は 𝕜 上の既約多項式、 e ∈ ℤ_{>0}) の形の 𝕜[X]-加群と同型である。

とくに、 𝕜 が\underline{代数的閉体ならば}、 V は V_{c}^{(e)} = 𝕜[X]/(X − c)^{e} (c ∈ 𝕜, e ∈ ℤ_{>0}) の形の加群と同型であり、その適当な基底を選べば L は V_{c}^{(e)} 上ジョルダン細胞の形で表される。よって、 V の基底を適当に選べばその基底に対して L はジョルダンの標準型で表される。