代数学II要約 No.15

今日のテーマ:

定理 15.1   PID $A$ 上の有限生成加群は $A$ のいくつかの直和と、 $A/p^eA$ ($p$ は $A$ の素元、 $p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ) の形の加群の直和と 同型である。

注意。PID $A$ の元 $f,g$ が互いに素ならば $A/fA \oplus A/g A \cong A/(fg)A$ がなりたつ。

系 15.2   有限生成アーベル群は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のいくつかの直和と、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p^e{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($p$ は 素数、 $p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ) の形の加群の直和と 同型である。

系 15.3   体 $\mathbbm k$ 上の正方行列 $L \in M_n(\mathbbm k)$ が与えられたとする。 $V=\mathbbm k^n$ に $\mathbbm k[X]$ -加群の構造を

$$p(X).v= p(L) v \qquad (p\in \mathbbm k[X], v \in V)$$

により定義する。このときこの加群 $V$ は $\mathbbm k[X]/p(X)^e \mathbbm k[X]$         ( $p(X)$ は $\mathbbm k$ 上の既約多項式、 $e\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ) の形の $\mathbbm k[X]$ -加群と同型である。

とくに、 $\mathbbm k$ が代数的閉体ならば、$V$ は $V_c^{(e)}=\mathbbm k[X]/(X-c)^e$ ( $c\in \mathbbm k$ , $e\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ) の形の加群と同型であり、その適当な基底を選べば $L$ は $V_c^{(e)}$ 上ジョルダン細胞の形で表される。 よって、$V$ の基底を適当に選べばその基底に対して $L$ はジョルダンの標準型で表される。