論理と集合要約 NO.9

写像を理解するときに、「ホテルヒルベルト」のような解釈もできるのでした。

この解釈では、全射は、「空き室がないこと」に対応し、単射は、「各部屋個室」 (単射でないことは、相部屋が生じること) に対応するのでした。

全射や単射の存在は、始集合と終集合の元の多さと関係しているのでした。

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第 9 回目の主題 : 写像

次のことは少し難しいが数学の上級コースに向かうためには必要になる。

定理 9.1. 集合 X, Y が与えられているとする。 X のおのおのの元 x に対して Y のコピー Y_{x} を用意すれば、 {Y_{x}}_{x∈X} はひとつの集合の族である。 X から Y への写像 f は

∏_{x∈X} Y_{x}

の元 (f(x))_{x∈X} と同一視される。すなわち、直積集合 ∏_{x∈X} Y_{x} は X から Y への写像全体の集合と同一視できる。

定義 9.2. X から Y への写像の全体のなす集合を Y^{X} と書く。これはまた

Hom_{set}(X, Y)

と書く場合もある。

次のことは一見当たり前に見える。しかし、じつは集合論の「無限」に関する処理の要である。

公理 9.3. (選択公理) 空でない集合ばかリからなる集合族 {X_{λ}}_{λ∈Λ} にたいして、 ∏_{λ} X_{λ} は空ではない。言い換えると、無限個の空でない集合たち X_{λ} から、いっせいに一つづつ元を取り出すことが可能である。

◎写像の合成

定義 9.4. 写像 f : X → Y と g : Y → Z が与えられているとする。このとき、 f, g の合成写像 g ∘ f : X → Z を

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

で定義する。

次の命題は簡単ではあるが有用である。実用上はこのような命題があることだけ記憶しておいて、その都度頭の中で確かめるのがいいだろう。

命題 9.5. 写像 f : X → Y と g : Y → Z が与えられているとする。このとき、次がなりたつ。

(1) f, g がともに単射ならば g ∘ f も単射である。

(2) f, g がともに全射ならば g ∘ f も全射である。

(3) f, g がともに全単射ならば g ∘ f も全単射である。

(4) g ∘ f が単射ならば、 f は単射である。

(5) g ∘ f が全射ならば、 g は全射である。

定義 9.6. 集合 X に対して、写像 X ∋ x ↦ x ∈ X を X の恒等写像といい、 id_{X} で表す。

命題 9.7. 集合 X, Y と、写像 f : X → Y および g : Y → X が与えられているとする。このとき次のことはすべて同値である。

(1) f は全単射であって、 g は f の逆写像である。

(2) g ∘ f = id_{X} かつ f ∘ g = id_{Y}.

(3) f は全射であって、 g ∘ f = id_{X}.

(4) f は単射であって、 f ∘ g = id_{Y}.

上の命題も、 (1)⇔(2) 以外はその都度確認すれば良い。 (1)⇔(2) は特に重要である。

問題 9.1. X = ℝ_{≥0}, Y = ℝ とおく。写像 f : X ∋ x → x ∈ Y と g : Y ∋ x → |x| ∈ X にたいして、

(1) g ∘ f = id_{X} であることを示しなさい。

(2) f ∘ g ≠ id_{Y} であることを示しなさい。

(3) f, g はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

定義 9.8. 実数 x に対して、 x を超えないような整数のうち最大のものを ⌊x⌋ と書く (floor of x と読む。 )。例えば、

⌊3.14⌋ = 3, ⌊−3.14⌋ = −4,

である。また、任意の整数 n に対して、 ⌊n⌋ = n である。

一般に、実数 x と整数 n に対して、

⌊x⌋ = n ⇔ n ≤ x < n + 1

にも注意しておこう。昔は ⌊x⌋ のことを [x] で書いて、「ガウス記号」と呼ぶことが多かったが、今や floor のほうが通りが良くなりつつあるようである。

問題 9.2. X = ℤ, Y = ℤ とおく。写像 f : X ∋ x → 2x ∈ Y と g : Y ∋ x → ⌊x/2⌋ ∈ X にたいして、

(1) g ∘ f = id_{X} であることを示しなさい。

(2) f ∘ g ≠ id_{Y} であることを示しなさい。

(3) f, g はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

問題 9.3. X = ℂ[t] (複素数係数の t を変数とする多項式の全体のなす集合), Y = ℂ[t] とおく。写像 f : X ∋ p → ∫_{0}^{t} pdt ∈ Y と g : Y ∋ p ↦ \frac{d}{dt}p ∈ X にたいして、

(1) g ∘ f = id_{X} であることを示しなさい。

(2) f ∘ g ≠ id_{Y} であることを示しなさい。

(3) f, g はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。