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論理と集合要約 No.9
写像を理解するときに、「ホテルヒルベルト」のような解釈もできるのでした。
この解釈では、全射は、「空き室がないこと」に対応し、
単射は、「各部屋個室」(単射でないことは、
相部屋が生じること)に対応するのでした。
全射や単射の存在は、始集合と終集合の元の多さと関係しているのでした。
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第9回目の主題 :
定理 9.1 (再)
集合

,

が与えられているとする。

のおのおのの元

に対して

のコピー

を用意すれば、

はひとつの集合の族である。

から

への写像

は
の元

と同一視される。すなわち、
直積集合

は

から

への写像全体の集合と同一視できる。
定義 9.2 (再)

から

への写像の全体のなす集合を

と書く。これはまた
と書く場合もある。
公理 9.3 (選択公理)
空でない集合ばかリからなる集合族

に
たいして、

は空ではない。
言い換えると、無限個の空でない集合たち

から、いっせいに一つづつ
元を取り出すことが可能である。
◎写像の合成
定義 9.4
写像

と

が与えられているとする。
このとき、

の
合成写像

を
で定義する。
次の命題は簡単ではあるが有用である。実用上はこのような命題があることだけ
記憶しておいて、その都度頭の中で確かめるのがいいだろう。
定義 9.6
集合

に対して、写像

を

の
恒等写像といい、

で表す。
上の命題も、
以外はその都度確認すれば良い。
は特に重要である。
定義 9.8
実数

に対して、

を超えないような整数のうち最大のものを

と書く(floor of

と読む。)。
例えば、
である。また、任意の整数

に対して、

である。
一般に、実数
と整数
に対して、
にも注意しておこう。昔は
のことを
で
書いて、「ガウス記号」と呼ぶことが多かったが、
今や floor のほうが通りが良くなりつつあるようである。
問題 9.2

,

とおく。
写像

と

にたいして、
-
であることを示しなさい。
-
であることを示しなさい。
,
はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。
問題 9.3
![$ X={\mathbb{C}}[t] $](img48.png)
(複素数係数の

を変数とする多項式の全体のなす集合),
![$ Y={\mathbb{C}}[t]$](img50.png)
とおく。
写像

と

にたいして、
-
であることを示しなさい。
-
であることを示しなさい。
,
はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。
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2012-07-12