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論理と集合要約 No.12

第12回目の主題 : \fbox{写像は定義域の元を類別する。}

一般に、写像 $ f:X \to Y$ が与えられると、$ X$ の元は $ f$ の値によって クラス分けされる。

命題 12.1   $ f:X \to Y$ が与えられているとし、 $ y\in Y$ に対して、 $ {f}^{-1}(\{y\})$ のことを $ X_{y}$ と 書くことにすると、次のことが成り立つ。
  1. $ X$ $ \{X_y\}_{y\in Y}$ の和集合である。
  2. $ y\in Y$ に対して、 % latex2html id marker 984
$ {f}^{-1}(\{y\})\neq \emptyset \ {\Leftrightarrow}\ y \in f(Y)$ .
  3. % latex2html id marker 986
$ X_y \cap X_{y'}\neq \emptyset \
{\Leftrightarrow}\ (y =y'$    and $ y\in f(Y)) $ .

$ X_y$ のなかで、空集合を省くことにより、 $ X$ の下の意味でのクラス分けを作ることができる。

定義 12.2   集合 $ X$ の部分集合の族 $ \{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$$ X$クラス分け (分割とも言う)であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。
  1. $ \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda =X$ .
  2. $ \lambda_1,\lambda_2 \in \Lambda$ , % latex2html id marker 1008
$ \lambda_1 \neq \lambda_2 $ ならば $ C_{\lambda_1} \cap C_{\lambda_2} =\emptyset$ .

命題 12.3   写像 $ f:X \to Y$ が与えられたとき、$ f$$ X$ のクラス分けを与える。

問題 12.1   $ X=\{1,2,3,\dots,31\}$ , $ Y=\{0,1,2,\dots,6\}$ , $ f:X \to Y$

$ f(x)=$ ($ x$$ 7$ で割った余り)で定義する。

  1. $ f$ は全射だろうか。単射だろうか。
  2. $ X$$ f$ に関するクラス分けの表を書きなさい。

問題 12.2   $ f: X=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2 \ni (x,y) \mapsto x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ =Y$ に対して、$ f$ によるクラス分けを 考える。

  1. $ (1,0)$$ (1,5)$ とは同じクラスに入ることを示しなさい。
  2. $ (1,0)$$ (2,5)$ とは同じクラスでないことを示しなさい。
  3. $ (1,0)$ と同じクラスになるような $ (a,b)\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ をすべて求めなさい。
  4. $ X_0,X_2,X_{-1}$ を求めなさい。

問題 12.3   $ X=\{(x,y)\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1082
$ ^2; x^2+y^2\leq 10^2\}$ , $ Y=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ とおく。 $ f: X \ni (x,y) \mapsto x \in Y$ に対して、$ f$ によるクラス分けを 考える。
  1. $ f$ は全射だろうか。単射だろうか。
  2. $ (1,0)$$ (1,5)$ とは同じクラスに入ることを示しなさい。
  3. $ (1,0)$$ (2,5)$ とは同じクラスでないことを示しなさい。
  4. $ (1,0)$ と同じクラスになるような $ (a,b)\in X$ をすべて求めなさい。
  5. $ X_0,X_2,X_{-1}$ を図示しなさい。
  6. $ X_{20}$ を求めなさい。

問題 12.4   $ f: X=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2 \ni (x,y) \mapsto x^2+y^2 \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ =Y$ に対して、
  1. $ (1,0)$$ (0,-1)$ とは同じクラスであることを示しなさい。
  2. $ (1,0)$$ (2,5)$ とは違うクラスであることを示しなさい。
  3. $ (1,0)$ と同じクラスになるような $ (a,b)\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2$ をすべて求め、 図示しなさい。
  4. $ X_2,X_0$ を求めなさい。


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2013-07-02