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論理と集合要約 No.15

第15回目の主題 : 復習。

問題 15.1   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $ x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、
  1. $ \sim$ は同値関係であることを示しなさい。
  2. 以下この問題では、 $ x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ \sim$ に関するクラスを $ [x]$ と書く。 $ 1$ のクラス $ [1]$ に属する $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
  3. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $3$ で割った余り) で定義できるだろうか。
  4. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

問題 15.2   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $ x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、
  1. $ \sim$ は同値関係であることを示しなさい。
  2. 以下この問題では、 $ x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ \sim$ に関するクラスを $ [x]$ と書く。 $ 3$ のクラス $ [3]$ に属する $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
  3. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $5$ で割った余り) で定義できるだろうか。
  4. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

例題 15.1   命題 P: $ \forall x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \forall y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ( x<y \implies \exists z\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( x<z \text{ and } z<y)))$ について、
  1. P の否定命題 (not P)を「not を使わずに」書きなさい。
  2. P と not P のうち、真であるのはどちらだろうか。

例題 15.2   写像 $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^2-2x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に対して、

  1. $ f^{-1}(\{0\})$ を求めなさい。
  2. $ f^{-1}(\{1\})$ を求めなさい。
  3. $ f^{-1}(\{4,5,6\})$ を求めなさい。
  4. $ f$ は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
  5. $ f$ は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
  6. $ f$ によって $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に同値関係 $ \sim_f$

    $\displaystyle x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)
$

    により定まる。この $ \sim_f$ により $ 3$ と同値になる $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を すべて求めなさい。

例題 15.3   写像 $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \ni x \mapsto x^2-2x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

  1. $ f^{-1}(\{0\})$ を求めなさい。
  2. $ f^{-1}(\{1\})$ を求めなさい。
  3. $ f$ は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
  4. $ f$ は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
  5. $ f$ によって $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ に同値関係 $ \sim_f$

    $\displaystyle x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)
$

    により定まる。この $ \sim_f$ により $ 3$ と同値になる $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の元を すべて求めなさい。

例題 15.4   写像 $ f:X\to Y$ が与えられているとする。 このとき
  1. $ X$ の任意の部分集合 $ A,B$ にたいして、 $ f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ が成り立つことを示しなさい。
  2. $ X$ の任意の部分集合の族 $ \{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ にたいして、 $ f^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda
=\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(A_\lambda)$ が成り立つことを示しなさい。

  3. $ X$ の任意の部分集合の族 $ \{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ にたいして、 $ f^{-1}(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda
=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(A_\lambda)$ が成り立つことを示しなさい。


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2013-07-24