代数学 III 要約 NO.2

今日のテーマ: 体に一つの代数的な元を付け加えた体

定義 2.1. 体 L の部分集合 K が L の部分体であるとは、 K 自身が L の演算で体になっているときに言う。また、このとき L は K の拡大体であるとも言う。

定義 2.2 (体に元を付け加えてできる\underline{体}). 体 L と、その部分体 K, および L の元 α が与えられているとする。このとき、 K と α とを含む L の部分体のうち最小のものを k(α) と書き (\underline{丸括弧に注意})、 K に α を付け加えてできる体と呼ぶ。

補題 2.3.

K(α) = \{\frac{a(α)}{b(α)}; a, b は K 係数の多項式, b(α) ≠ 0.\}

定義 2.4. 体 K は体 L の部分体であるとする。 α ∈ L が K 上のある代数方程式

f(α) = 0 (f ∈ K[X], f ≠ 0)

を満足するとき、 α は K 上代数的であると呼ぶ。また、このような f のうち、次数が最小のものを α の最小多項式と呼ぶ。

とくに断らない限り、最小多項式はモニックなものを選ぶのが普通である。

ℤ や、体 K 上の一変数多項式環 K[X] はユークリッド環であったことを思い出そう。これは簡単に言えばこれらの環上では\underline{余りを許した意味での割り算}ができることを意味している。

命題 2.5. 体 K の拡大体 L と K 上の代数的な元 α ∈ L が与えられているとする。このとき、

(1) α の最小多項式 f_{0}(X) は既約である。

(2) f ∈ K[X] が f(α) = 0 を満たすならば、 f は α の最小多項式 f_{0} で割り切れる。

命題 2.6. ユークリッド整域 R は PID である。すなわち、 R の元 p, q にたいして、そのある a, b が存在して、

(E)  ap + bq = d

(d は p, q の R での最大公約数) が成り立つ。

(E) 式のおかげで、ユークリッド環 (もっと一般に、 PID) の\underline{剰余環}の割り算は良い性質を持つ。これが今回の技術的なキモである。

命題 2.7. 体 k 上の多項式 p(X) と q(X) が互いに素なら、 R = k[X]/p(X)k[X] のなかでの q(X) のクラス\overline{q(X)} は可逆である。とくに、 p が k[X] のなかで既約ならば、 R = k[X]/p(X)k[X] は体である。

上の命題で、 p が既約でなければ、環 R = k[X]/p(X)k[X] は体ではないことが容易に分かる。したがって、 p が既約であることは R が体であることの必要十分条件である。

上の命題と同様に、次のことも成り立つ。 (今回のテーマとは少しずれるが、本講義全体のなかでは重要である。 )

定理 2.8. 素数 p にたいして、 ℤ/pℤ は体である。 (この体を 𝔽_{p} と書く。 )

そして、今回のメインはこちら:

定理 2.9. 体 K が体 L の部分体であって、 α ∈ L が K 上代数的であれば、 (1) K(α) の任意の元は α の K 係数の多項式で書くことができる。

(2) α の最小多項式を f とおくと、 K(α) は L_{1} = K[X]/f(X)K[X] と同型である。

(3) もっと詳しく言うと、環準同型 φ : L_{1} → L で、 X のクラスを α に写すものが (唯一つ) あって、 φ は L_{1} と K(α) との同型を与える。 K(α) の任意の元は α の K 係数の多項式で書くことができる。

上の定理は、 K 上代数的な数 α がどんな数かロクスッポ知らなくても、その最小多項式が分かってさえいれば剰余環のコトバで K(α) が理解できることを示している。