代数学III要約 No.5

今日のテーマ:

今回は少しガロア理論の本筋からは外れる。 これまで、個々の例の多項式の既約性について証明なしに議論してきたが、 だんだん不自由になってきたのでここでまとめておくことにする。

代数についてよく学びたい人のための注: 今回の議論は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とその商体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ に関してのべるが、 一般の UFD $R$ とその商体 $K=Q(R)$ に関しても同様なことが成り立つ。

次の命題は多項式の既約性判定の際に整数係数と有理係数の差を うまく処理してくれる:

命題 5.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の多項式 $f(X) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上で可約ならば、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上でも可約である。

証明には「ガウスの補題」を用いる。その説明のために ひとつ言葉を用意しておこう。

定義 5.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の多項式 $f(X) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ が原始的であるとは $f$ の係数のすべてを割るような整数が $\pm 1$ しかないときにいう。 言い換えると、原始的多項式とは係数の gcd が $1$ の多項式である。

補題 5.3 (ガウス)   原始多項式 $f,g\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の積 $fg$ はまた原始的である。

命題 5.4   多項式 $h\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ が多項式 $f,g\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の積の時、

1. $h$ の定数項は $f$ の定数項と $g$ の定数項の積である。
2. $h$ の最高次の係数は $f$ の最高次の係数と $g$ の最高次の係数との 積である。

とくに、モニックな ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の多項式がもし可約ならばそれはモニックな因数を持つ。

命題 5.5   体 $K$ 上の 3次もしくは2次の多項式 $f\in K[X]$ について、 $f$ が $K$ の中に根を持たなければ $f$ は $K$ 上既約である。

定理 5.6 (アイゼンシュタイン)   ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ を係数にもつモニックな

$$f(X)=X^k+a_{k-1}X^{k-1}+a_{k-2}X^{k-2}+\dots+a_0$$

が、ある素数 $p$ に対して、次の二つの性質をもつとする。

1. $f(X)=X^k \quad\pmod{ p}$
2. $f(X)$ の定数項は $p^2$ で割り切れない。

このとき、 $f$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ 上既約である。

次のこともよく用いる。

定理 5.7   任意の $f\in k[X]$ と任意の定数 $c\in k$ に対して、

$f(X)$ が既約 ${\Leftrightarrow}$ $f(X+c)$ が既約.

定理 5.8   モニックな整係数多項式 $f(X) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ が与えられているとする。 ある素数 $p$ に対して $f$ が ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 係数の多項式として既約なら、 $f$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ の元として既約で ある。

問題 5.1   $X^2-6$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約であることを示しなさい。 (今回はもちろん $\sqrt{6}$ が無理数であることを使ってはならない。)

問題 5.2   $X^3-X-1$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約であることを示しなさい。