代数学 III 要約 NO.8

今日のテーマ: ガロア拡大とガロア群

補題 8.1. K の代数拡大体 L = K(α_{1}, …, α_{t}) が与えられたとする。 α_{1}, α_{2}, …, α_{t} のすべての K 上の共役が L 内に存在するならば (すなわち、それらの最小多項式がすべて L 上では一次式の積に分解されるならば)、 L は K の正規拡大である。

系 8.2. K の有限次代数拡大体 L = K(α_{1}, α_{2}, …, α_{t}) が K 上ガロア拡大であるための必要十分条件は、生成元 α_{1}, …, α_{t} がすべて K 上分離的であり、なおかつそれらの K 上の共役がすべて L 内に存在することである。

定義 8.3. 体 K の有限次ガロア拡大 L に対して、 Hom_{K}^{algebra}(L, L) は写像の合成について群をなす。この群を L の K 上のガロア群とよび、

Gal(L/K)

で書き表す。

体の有限次ガロア拡大が与えられると、ガロア群がひとつ定まる。この群を詳しく調べることにより、体の拡大の様子が手に取るようにわかる。これがガロア理論の真骨頂である。

ガロア群を計算するときには、 (1) ガロア群の元になりそうなものをすべて挙げる。

(2) それらがガロア群の元になるか、それらで足りているかを元の数の勘定で確認する。のステップで行うことが多い。その意味で次の命題は基本的である。

命題 8.4. 体 K の有限次ガロア拡大 L に対して、

|G| = [L : K]

例 8.5. ℚ(\sqrt{11}) は ℚ 上のガロア拡大であって、そのガロア群の元は\sqrt{11} の行き先 (\sqrt{11} or −\sqrt{11}) で定まる。その結果、

Gal(ℚ(\sqrt{11}))/ℚ) ≅ C_{2}

(2 次の巡回群)

例 8.6. ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) は ℚ 上のガロア拡大であって、そのガロア群の元は\sqrt{2} と\sqrt{3} の行き先 (それぞれ\sqrt{2} or −\sqrt{2} と\sqrt{3} or −\sqrt{3}) で定まる。その結果、

Gal(ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}))/ℚ) ≅ C_{2} × C_{2}

(2 つの 2 次の巡回群の直積。 )

問題 8.1. Gal(ℂ/ℝ) を求めよ。