代数学 III 要約 NO.11

例題 α = \sqrt{3} + 2\sqrt{5}, β = \sqrt{3} − \sqrt{5} とおくとき、 c ∈ ℚ, c ≠ −1, 2 ならば

ℚ(α + cβ) = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}).

[証明] 次のステップで証明する。 (1) [ℚ(\sqrt{3}) : ℚ] = 2.

(2) \sqrt{5} ∉ ℚ(\sqrt{3})

(3) [ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) : ℚ(\sqrt{3})] = 2.

(4) L = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) は ℚ のガロア拡大であって、その拡大次数は 4.

(5) Gal(L/ℚ) の元 σ は\sqrt{3} の行き先 σ(\sqrt{3}) (\sqrt{3}, −\sqrt{3} の二通り。 ) と\sqrt{5} の行き先 σ(\sqrt{5}) ( \sqrt{5}, −\sqrt{5} の二通り) により定まる。しかも、それら ( 2 × 2 =) 4 通りの組み合わせはすべてガロア群の元として現れる。

(6) ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) の ℚ ベクトル空間としての基底として \{1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}\} を取ることができる。

(7) c ≠ −1, 2 なら、ガロア群 Gal(L/ℚ) の元で、 α + cβ を動かさないものは、ガロア群の単位元 (恒等写像) に限る。

上のように、ガロア理論を知った上でなら、次の補題の内容が分かりやすくなる。 (この補題自体は、ガロア理論の構築そのものに必要であったので、ガロアの基本定理 (ガロア対応) を用いずに証明する必要があった。 )

補題 11.1 (補題 6.8 再掲). K は無限個の元を持つ体とする。 K 上の代数的な元 α, β が、ともに K 上分離的ならば

K(α, β) = K(α + cβ)

をみたす c ∈ K が少なくともひとつ存在する。

二重根号について。次のような等式がある。

\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{12 + 2\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{12 + \sqrt{20}}}{2} = \frac{\sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}

つまり、\sqrt{3 + \sqrt{5}} は 右辺のように簡単化できる。これを二重根号をはずすという。同様に、次のような等式が成り立つことがわかる。

\sqrt{7 − 2\sqrt{6}} = \sqrt{6} − 1, \sqrt{3 + \sqrt{2}} = \sqrt{6} − 1,

一方で、\sqrt{3 + \sqrt{7}} は上のようには簡単にならない。これは、次のように説明できる。

(1) ℚ のガロア拡大 L で、 α = \sqrt{3 + \sqrt{7}} を元として含むものは、\sqrt{3 − \sqrt{7}}) も元として含む。

(2) L = ℚ(\sqrt{3 + \sqrt{7}}, \sqrt{3 − \sqrt{7}}).

(3) L ⊃ ℚ(\sqrt{7}, \sqrt{2}).

(4) [L : ℚ(\sqrt{7}, \sqrt{2})] = 2.

(5) もし、 α が有理数 x, y でもって\sqrt{x}, \sqrt{y} の有理係数の有理式としてかけるなら、 L = ℚ(\sqrt{x}, \sqrt{y}) となって、上の事実と矛盾する。