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代数学III要約 No.11

例題

% latex2html id marker 948
$ \alpha=\sqrt{3}+2 \sqrt{5}$ , % latex2html id marker 950
$ \beta=\sqrt{3}-\sqrt{5}$ とおくとき、 $ c\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , % latex2html id marker 955
$ c\neq -1,2$ ならば

   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle (\alpha+c\beta)=$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 960
$\displaystyle (\sqrt{3},\sqrt{5}).
$

[証明] 次のステップで証明する。

  1. $ [$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 964
$ (\sqrt{3}):$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ]=2. $
  2. % latex2html id marker 968
$ \sqrt{5}\notin$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 970
$ (\sqrt{3})$
  3. $ [$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 974
$ (\sqrt{3},\sqrt{5}):$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 976
$ (\sqrt{3})]=2$ .
  4. $ L=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 980
$ (\sqrt{3},\sqrt{5})$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア拡大であって、 その拡大次数は $ 4$ .
  5. $ \operatorname{Gal}(L/$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ )$ の元 $ \sigma$% latex2html id marker 992
$ \sqrt{3}$ の行き先 % latex2html id marker 994
$ \sigma(\sqrt{3})$ ( % latex2html id marker 996
$ \sqrt{3},-\sqrt{3}$ の二通り。) と % latex2html id marker 998
$ \sqrt{5}$ の行き先 % latex2html id marker 1000
$ \sigma(\sqrt{5})$ ( % latex2html id marker 1002
$ \sqrt{5},-\sqrt{5}$ の二通り) により定まる。しかも、それら ( $ 2 \times 2=$ ) 4通りの組み合わせは すべてガロア群の元 として現れる。
  6. $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1007
$ (\sqrt{3},\sqrt{5})$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ベクトル空間としての基底として % latex2html id marker 1011
$ \{1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}\}$ を取ることができる。
  7. % latex2html id marker 1013
$ c\neq -1,2$ なら、 ガロア群 $ \operatorname{Gal}(L/$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ )$ の元で、 $ \alpha+c \beta $ を動かさないものは、 ガロア群の単位元(恒等写像)に限る。

上のように、 ガロア理論を知った上でなら、次の補題の内容が分かりやすくなる。 (この補題自体は、ガロア理論の構築そのものに必要であったので、 ガロアの基本定理(ガロア対応)を用いずに証明する必要があった。)

補題 11.1 (補題6.8再掲)   $ K$ は無限個の元を持つ体とする。 $ K$ 上の代数的な元 $ \alpha,\beta$ が、ともに $ K$ 上分離的ならば

$\displaystyle K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c \beta)
$

をみたす $ c\in K$ が少なくともひとつ存在する。

二重根号について。

次のような等式がある。

% latex2html id marker 1038
$\displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5}}=
\frac{\sqrt{12+2\...
...0}}}{2}
=\frac{\sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{2})^2}}{2}
=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}
$

つまり、 % latex2html id marker 1040
$ \sqrt{3+\sqrt{5}}$ は 右辺のように簡単化できる。 これを二重根号をはずすという。 同様に、次のような等式が成り立つことがわかる。

% latex2html id marker 1042
$\displaystyle \sqrt{7-2\sqrt{6}}=\sqrt{6}-1,\quad
\sqrt{3+\sqrt{2}}=\sqrt{6}-1,\quad
$

一方で、 % latex2html id marker 1044
$ \sqrt{3+ \sqrt{7}}$ は上のようには簡単にならない。 これは、次のように説明できる。

  1. $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア拡大 $ L$ で、 % latex2html id marker 1050
$ \alpha=\sqrt{3+\sqrt{7}}$ を 元として含むものは、 % latex2html id marker 1052
$ \sqrt{3-\sqrt{7}})$ も元として含む。
  2. $ L=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1056
$ (\sqrt{3+\sqrt{7}},\sqrt{3-\sqrt{7}})$ .
  3. $ L \supset$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1060
$ (\sqrt{7},\sqrt{2})$ .
  4. $ [L:$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1064
$ (\sqrt{7},\sqrt{2})]=2$ .
  5. もし、$ \alpha$ が有理数 $ x,y$ でもって % latex2html id marker 1070
$ \sqrt{x},\sqrt{y}$ の有理係数の有理式としてかけるなら、 $ L=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1074
$ (\sqrt{x},\sqrt{y})$ と なって、上の事実と矛盾する。



2014-01-16