代数学III要約 No.11

例題

$% latex2html id marker 948 $ \alpha=\sqrt{3}+2 \sqrt{5}$$ , $% latex2html id marker 950 $ \beta=\sqrt{3}-\sqrt{5}$$ とおくとき、 $c\in$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $% latex2html id marker 955 $ c\neq -1,2$$ ならば

$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\displaystyle (\alpha+c\beta)=$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 960 $\displaystyle (\sqrt{3},\sqrt{5}). $$

[証明] 次のステップで証明する。

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 964 $ (\sqrt{3}):$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$
$% latex2html id marker 968 $ \sqrt{5}\notin$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 970 $ (\sqrt{3})$$
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 974 $ (\sqrt{3},\sqrt{5}):$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 976 $ (\sqrt{3})]=2$$ .
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 980 $ (\sqrt{3},\sqrt{5})$$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア拡大であって、その拡大次数は .
$\operatorname{Gal}(L/$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の元 $\sigma$ は $% latex2html id marker 992 $ \sqrt{3}$$ の行き先 $% latex2html id marker 994 $ \sigma(\sqrt{3})$$ ( $% latex2html id marker 996 $ \sqrt{3},-\sqrt{3}$$ の二通り。) と $% latex2html id marker 998 $ \sqrt{5}$$ の行き先 $% latex2html id marker 1000 $ \sigma(\sqrt{5})$$ ( $% latex2html id marker 1002 $ \sqrt{5},-\sqrt{5}$$ の二通り) により定まる。しかも、それら ( $2 \times 2=$ ) 4通りの組み合わせはすべてガロア群の元として現れる。
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1007 $ (\sqrt{3},\sqrt{5})$$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ベクトル空間としての基底として $% latex2html id marker 1011 $ \{1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}\}$$ を取ることができる。
$% latex2html id marker 1013 $ c\neq -1,2$$ なら、ガロア群 $\operatorname{Gal}(L/$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の元で、 $\alpha+c \beta$ を動かさないものは、ガロア群の単位元(恒等写像)に限る。

上のように、ガロア理論を知った上でなら、次の補題の内容が分かりやすくなる。 (この補題自体は、ガロア理論の構築そのものに必要であったので、ガロアの基本定理(ガロア対応)を用いずに証明する必要があった。)

補題 11.1 (補題6.8再掲)

は無限個の元を持つ体とする。

上の代数的な元 $\alpha,\beta$ が、ともに

上分離的ならば

$\displaystyle K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c \beta)$

をみたす $c\in K$ が少なくともひとつ存在する。

二重根号について。

次のような等式がある。

$% latex2html id marker 1038 $\displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{12+2\... ...0}}}{2} =\frac{\sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{2})^2}}{2} =\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} $$

つまり、 $% latex2html id marker 1040 $ \sqrt{3+\sqrt{5}}$$ は　右辺のように簡単化できる。これを二重根号をはずすという。同様に、次のような等式が成り立つことがわかる。

$% latex2html id marker 1042 $\displaystyle \sqrt{7-2\sqrt{6}}=\sqrt{6}-1,\quad \sqrt{3+\sqrt{2}}=\sqrt{6}-1,\quad $$

一方で、 $% latex2html id marker 1044 $ \sqrt{3+ \sqrt{7}}$$ は上のようには簡単にならない。これは、次のように説明できる。

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア拡大で、 $% latex2html id marker 1050 $ \alpha=\sqrt{3+\sqrt{7}}$$ を元として含むものは、 $% latex2html id marker 1052 $ \sqrt{3-\sqrt{7}})$$ も元として含む。
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1056 $ (\sqrt{3+\sqrt{7}},\sqrt{3-\sqrt{7}})$$ .
$L \supset$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1060 $ (\sqrt{7},\sqrt{2})$$ .
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1064 $ (\sqrt{7},\sqrt{2})]=2$$ .
もし、 $\alpha$ が有理数でもって $% latex2html id marker 1070 $ \sqrt{x},\sqrt{y}$$ の有理係数の有理式としてかけるなら、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1074 $ (\sqrt{x},\sqrt{y})$$ となって、上の事実と矛盾する。

2014-01-16