代数学 III 要約 NO.12

1 のべき根

定理 12.1. 正の整数 n に対して、 z^{n} = 1 を満たす複素数 z はちょうど n 個存在する。それらは

exp(\frac{2πk\sqrt{−1}}{n}) (k = 0, 1, 2, …, n − 1)

であり、これらを複素平面上で順に線分で結ぶと単位円に内接し、 1 をひとつの頂点とする正 n 角形ができる。

命題 12.2. 一般に、体 K と正の整数 n に対して、

{x ∈ K; x^{n} = 1}

は情報に関して群をなし、その位数は n 以下である。

定義 12.3. 体 K に対して、 n 乗して初めて 1 になるような K の元を (K における)1 の原始 n 乗根と呼ぶ。

命題 12.4. ℂ における 1 の原始 n 乗根を ζ_{n} と書くと、 ℚ(ζ_{n}) は ℚ のガロア拡大であり、ガロア群 Gal(ℚ(ζ_{n})/ℚ) は ℤ/nℤ の乗法群 (ℤ/nℤ)^{×} と同型である。

命題 12.5. p が素数の時、 (ℤ/pℤ)^{×} は巡回群である。

ガロア群がアーベル群 (可換群) であるとき、アーベル拡大と呼ばれる。上の ℚ(ζ_{n}) は ℚ のアーベル拡大の一例である。実はつぎの驚くべき定理が成り立つ。

定理 12.6 (クロネッカー・ウエーバー). ℚ のアーベル拡大は必ずある円分体 ℚ(ζ_{n}) の部分体である。

上記定理は類体論の成果の一つである。類体論のおかげで、アーベル拡大 (とくに ℚ の有限次代数拡大 K のアーベル拡大) については、上記定理の他にもいろいろなことがわかっている。それでは、非アーベル拡大についてはどうかという疑問が当然生じるが、それについては現代でも活発に研究が行われているところである。