微分積分学概論 AI 要約 NO.4

実数の集合の例、上限、上界

定義 4.1. 実数 a, b について、閉区間 [a, b] と開区間 (a, b) をつぎの式で定める。

[a, b] = {x ∈ ℝ|a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ ℝ|a < x < b}

◎ [a, b] には端点があって、そこでのようすは [a, b] のほかの点のようすと大きく異っている。それに対して、 (a, b) の各点はどの点も似ている。

◎ [a, b] には最大元があるが、 (a, b) にはない。次の定義を見よ。

定義 4.2. ℝ の部分集合 A が与えられているとする。このとき (1) a ∈ ℝ が A の上界 (upper bound) であるとは、

∀x ∈ A(x ≤ a)

(つまり、どの x ∈ A をもってきても x ≤ a ) が成り立つときに言う。

(2) a ∈ ℝ が A の上限 (supremum) であるとは、 A の上界のうち最小のものをいう。

◎集合の上界は存在するとは限らない。また、上界が存在したとすると、それはいくつもある。

例 4.3.

T = { 土佐電鉄 (*) の運賃} = {120, 200, 220, 300, 400, 460}

とおく ((*)2014/4/1 現在)。このとき、

(1) T の上界としては、 1000 がある。これは「土佐電鉄に乗るときは 1000 円あればひとり分のお金は足りる」ことを意味している。

(2) T の上界としては、他にも 500, 一万、十万、 951.777.. 等がある。 (3) T の上限は 500 である。

旅行に行くとき、かかる旅費をキッチリ計算して、その分のお金しか持って行かない人は少なかろう。「大体△万円あれば十分」とか見積もる。これが上界の考え方。

例 4.4. (最大値を持たないが上限を持つ集合たち)

(1) \{\frac{n−1}{n}; n = 1, 2, 3, … \} は上限 1 をもつ。

(2) {x ∈ ℝ; x < 2} は上限 2 を持つ。

(3) \{x ∈ ℚ; x^{2} < 2\} は上限\sqrt{2} を持つ。

定義 4.5. 集合 A ⊂ ℝ が上に有界であるとは、 A が上界を少なくとも一つもつときに言う。

例題 4.6. f(x) = x^{4} − 6x^{3} + 11x^{2} − 6x とおく。このとき

S = {x ∈ ℝ; f(x) < 0}

は上界をもつだろうか、

(解答) f(x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) と因数分解できるので、

S = (0, 1) ∪ (2, 3)

であることがわかる。したがって、 S は上界 10 をもち、上に有界である。

上界は一つ挙げれば十分である。上の例題なら 3 (上限) でも良いし、 100 でもよい。 f が因数分解できない場合も、つぎのような別解ならうまくいく。

(別解) まず、 M = 100 とおくと、 S の元 s は s ≤ M を満たす。なぜなら、もし s > M なる s ∈ S が存在したとすると、

f(s) = s^{4} − 6s^{3} +11s^{2}−6 s
>100s^{3} − 6s^{3}+11·0− 6·s^{3} = 88s^{3} > 0

となって、これは s ∈ S に反するからである。 (s > 1 のとき s < s^{2} < s^{3} <

… に注意。負の項は多めに見積もり、正の項は控えめに見積もる。 ) したがって、

M は S の上界の一つである。

問題 4.1. 次の各問に答えなさい。

(1) {|x^{3} − 10x^{2} + 100x − 1000| ; x ∈ [0, 1]} の上界を一つ挙げ、その理由を述べなさい。

(2)

S = {x ∈ ℝ; 5x^{4} − 4x^{3} + 3x^{2} + 4x − 5 < 0}

は上界をもつだろうか、もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。

次のことは、実数の極限を考える上で基本的である。

公理 4.7. ℝ の部分集合 S ≠ ∅ が上に有界ならば S は必ず上限をもつ。

参考のために、 ℝ の性質で必要最小限のものを書いておこう。よく知っている体 ℝ から少し離れて、次のような集合 K (とその上の演算 +, ×,

元 1_{K}, 0_{K}, 関係式 >, =, <) を考える。

(1) K は体である。すなわち:

(a) (K, +) は加法群である。

(i) K の各元 x, y に対して、その和と呼ばれる元 x + y ∈ K がただひとつ定まる。

(ii) (x + y) + z = x + (y + z) (∀x, ∀y, ∀z ∈ K).

(iii) K にはゼロ元 0_{K} と呼ばれる元が存在して、任意の x ∈ K に

対して x + 0_{K} = x, 0_{K} + x = x を満たす。 (iv) K の各元 x に対して、そのマイナス元 (−x) と呼ばれる元が存

在して、 x + (−x) = 0_{K}, (−x) + x = 0_{K} を満たす。

(v) x + y = y + x.

(b) (K, ×) は乗法に関して半群をなす。すなわち、

(i) K の各元 x, y に対して、その積と呼ばれる元 xy ∈ K がただひとつ定まる。

(ii) x(yz) = (xy)z (∀x, ∀y, ∀z ∈ K).

(c) 分配法則。 (x+y)z = xz+yz, z(x+y) = zx+zy (∀x, ∀y, ∀z ∈ K).

(d) K は乗法に関する単位元 1_{K} をもつ。すなわち、任意の x ∈ K に対して x1_{K} = x, 1_{K}x = x を満たす。

(e) K の乗法は可換である。 xy = yx (∀x, ∀y ∈ K).

(f) K の 0_{K} 以外の元 x は乗法に関して逆元 x^{−1} と呼ばれる元が存在し

て、 x^{−1}x = 1_{K}, xx^{−1} = 1_{K} を満たす。

(2) K は全順序集合である。 (a) x, y ∈ K に対して、 x > y か x = y か x < y のいずれかが成り立つ。 (b) x, y, z ∈ K にたいして、「(x > y and y > z) ならば x > z」が成り

立つ。

(3) K の体の構造と順序構造は両立する。 (a) x > y ⟹ x + z > y + z.

(b) x > 0, y > 0 ⟹ xy > 0.

(4) K の任意の有界部分集合は K 内に上限を持つ。このとき、 K は実数体 ℝ と「同じ」 (順序体として同型) である。群、加法群、体について、その詳しい性質は 2 年生からの代数学で深く勉強する。