微分積分学概論 AI 要約 NO.5

第 5 回目の主題 : 上限

次の公理は実数の基本的な性質である。

公理 5.1. (公理 4.7 の再掲) ℝ の部分集合 A が上に有界ならば、 A は上限を持つ。

定義 5.2. ℝ の部分集合 A に対して、その上限のことを sup(A) と書く。

補題 5.3. 集合 A の上限が α であることは、次の二条件が同時に成り立つことと同値である。

(1) ∀x ∈ A (x ≤ α).

(2) ∀ϵ > 0∃x ∈ A(x > α − ϵ).

数列 {a_{n}} を単なる集合と見てそれが有界かどうか、やその上限 {a_{n}} を議論することができる。公理 5.1 により、上に有界な数列は上限を持つことがわかる。

定義 5.4. 実数列 {a_{n}} が単調増加であるとは、

∀n∀m(n ≥ m ⟹ a_{n} ≥ a_{m})

がなりたつときにいう。

もっと露骨に言えば {a_{n}} が単調増加であるとは

a_{1} ≤ a_{2} ≤ a_{3} ≤ a_{4} ≤ …

が成り立つということである。

補題 5.5. 数列 {a_{n}} を

a_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}

で定義する。このとき (1) {a_{n}} は単調増加である。

(2) {a_{n}} は有界である。

定義 5.6. 上限

sup \{∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\}_{n=1}^{∞}

のことを自然対数の底とよび、 e と書く。

定理 5.7. 上に有界な単調増加数列はその上限に収束する。

問題 5.1.

a_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k^{2}}

で定義される数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} は上に有界であることを示しなさい。ヒント: k > 1 に対して、

\frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{k(k − 1)} = \frac{1}{k − 1} − \frac{1}{k}

に注意。

微分積分学概論 AI 要約 NO.5

A α alpha  アルファギリシャ文字の表。 ; • 左から順に、大文字、小文字、 ; 英語での読み、日本語での読み ; 方を書いた。 (ただし、「日本語で ; の読み方」はだいたいの目安に ; 過ぎない。 ) ; • A, B, E など、通常のアルファ ; ベットと同じに見える文字は、 ; ふつうは数学では用いられない。 ; • 逆に、同じ読みでも二つ以上の ; 文字がある場合、数学では二つ ; を区別し、それぞれ別の意味で ; 用いることがある。
B β beta  ベータ
Γ γ gamma ガンマ
Δ δ delta  デルタ
E ϵ, ε epsilon イプシロン
Z ζ zeta  ゼータ
H η eta  エータ
Θ θ, ϑ theta  シータ
I ι iota イオタ
K κ kappa カッパ
Λ λ lambda ラムダ
M μ mu  ミュー
N ν nu  ニュー
Ξ ξ xi  グザイ
O o omicron オミクロン
Π π, ϖ pi  パイ
P ρ, ϱ rho  ロー
Σ σ, ς sigma シグマ
T τ tau  タウ
Υ υ upsilon ウプシロン
Φ ϕ, φ phi  ファイ
X χ chi  カイ
Ψ ψ psi  プサイ
Ω ω omega オメガ