微分積分学概論 AI 要約 NO.7

第 7 回目の主題 : 級数

数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} に対して、形式的な和

∑_{n=1}^{∞} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + …

のことを級数とよぶ。このように形式的に決めたからと言って、その「値」が何もせずに決まるわけではない。上の級数について、

s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}

で定義される s_{n} のことをこの級数の部分和と呼ぶ。部分和からできた数列 {s_{n}} が収束するとき、

lim_{n→∞} s_{n} (= lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} a_{n})

で定義される数をこの級数の和と呼ぶ。定義 7.1. 各 a_{n} が 0 以上の時の級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} のことを正項級数とよぶ。

有界な単調列は収束することから、次のことが分かる。

命題 7.2. 正項級数は、部分和からなる列が有界ならば必ず収束する。

正項級数に限らない級数については、絶対収束の概念が大事である。

定理 7.3. 級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} は、 ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| が収束すれば収束する。定義 7.4. ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| が収束するとき、級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} は、絶対収束すると呼ばれる。

「絶対収束する」というのはひとまとまりでひとつの数学用語である。あえて言えば「絶対値の和が収束している」という言葉の省略に近い。「絶対に収束する」という言葉とはまったく異なる。

定理 7.5. 絶対収束する級数は収束する。例 7.6. 任意の実数 r に対して、

∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}r^{k}

は収束する。この和を exp(r) と書く。問題 7.1. 数列 {a_{n}} が、任意の n ∈ ℤ_{>0} に対し、

|a_{n}| < \frac{1}{2^{n}}

を満たしているとする。このとき、 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} は絶対収束することを示しなさい。