微分積分学概論 AI 要約 NO.10

連続関数の性質

定義 10.1. ℝ の部分集合 D 上で定義された f が D で連続であるとは、その定義域の全ての点 a で連続であること、すなわち、

∀a ∈ D∀ϵ > 0∃δ > 0; ∀x ∈ D (|x − a| < δ ⟹ |f(x) − f(a)| < ϵ)

が成り立つときに言う。

上の定義は、 D が開区間や閉区間に限らず、一般的に適用できる形で述べられている。詳しくは多変数の場合に譲ろう。

定理 10.2. 同じ定義域 D を持つ連続関数 f, g について、 (1) λf + μg も連続関数である。

(2) fg も連続関数である。

(3) D の部分集合 D_{0} = {x ∈ D; g(x) ≠ 0} において、 f/g も連続関数である。

系 10.3. (1) x の多項式で定義される関数 (多項式関数) は ℝ で連

続である。

(2) x の有理式で定義される関数

f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} (p, q は x の多項式)

(有理関数) は、 D_{q} = {x ∈ ℝ; q(x) ≠ 0} で連続である。

上の定理は、下の定理の多変数版を用いるともっと鮮やかに証明される

定理 10.4. 二つの連続関数の合成関数は連続である。

次のことは、「連続 ⟹ グラフがつながっている」ということの表現法の一つと言える。

定理 10.5 (中間値の定理). 関数 f が閉区間 [a, b] で連続 (すなわち、 [a, b] の各点で連続) とする。このとき f(a) と f(b) の中間の値 γ にたいして、 f(c) = γ をみたすような c ∈ [a, b] が存在する。

上の定理は、位相空間論において「連結集合の連続像は連結である」という定理に一般化される。 (区間は実数直線の連結部分集合として特徴づけることができる。 )

問題 10.1.

f(x) = \frac{3x + 5}{x}

とおくと、 f は D = {x ∈ ℝ; x ≠ 0} において連続であることを定義にしたがって (つまり定理 10.2 や系 10.3 に頼らずに) 証明しなさい。