微分積分学概論 AI 要約 NO.12

連続関数の性質

定理 12.1. (中間値の定理) (再) 関数 f が閉区間 [a, b] で連続 (すなわち、 [a, b] の各点で連続) とする。このとき f(a) と f(b) の中間の値 γ にたいして、 f(c) = γ をみたすような c ∈ [a, b] が存在する。

定理 12.2 (最大値の定理). (再) 有界閉区間 [a, b] 上の連続関数は必ず最大値を持つ。

この定理は位相空間論においては「コンパクト集合の像はコンパクトである」という定理 (あるいはその系の「コンパクト集合上の連続関数は最大値を持つ」という定理) に一般化される。

問題 12.1.

(1) 閉区間 [0, 1] 上で定義された実数値連続関数 f(x), g(x) が、任意の x ∈ [0, 1] にたいして f(x) > g(x) をみたすとき、ある正の数 ϵ_{0} が存在して、 f(x) ≥ g(x) + ϵ_{0} がすべての x ∈ [0, 1] に対して成り立つことを示しなさい。

(2) 上で、閉区間 [0, 1] のところを開区間 (0, 1) に置き換えた場合にはどのようなことが起こるだろうか。