論理と集合要約 NO.10

第 10 回目の主題 : 写像。特にその像と逆像。

定義 10.1. (再) 実数 x に対して、 x を超えないような整数のうち最大のものを ⌊x⌋ と書く (floor of x と読む。 )。例えば、

⌊3.14⌋ = 3, ⌊−3.14⌋ = −4,

である。また、任意の整数 n に対して、 ⌊n⌋ = n である。

問題 10.1. (再) X = ℤ, Y = ℤ とおく。写像 f : X ∋ x → 2x ∈ Y と g : Y ∋ x → ⌊x/2⌋ ∈ X にたいして、

(1) g ∘ f = id_{X} であることを示しなさい。

(2) f ∘ g ≠ id_{Y} であることを示しなさい。

(3) f, g はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

上の例のように、 g ∘ f = id を満たすとき、 g は f の左逆写像であるという。 (g からみれば f は g の右逆写像である。このとき、問題 9.2 の結果により、 g が全射で f が単射であるのがわかることに注意しておこう。 )

問題 10.2. g_{1} : ℤ → ℤ を

g_{1}(n) = \begin{cases}n/2 & (n が偶数の時) \\ 0 & (n が奇数の時) \end{cases}

と定義すれば、問題 10.1 の f に対し g_{1} ∘ f = idℤ が成り立つことを示しなさい。

問題 10.3. f_{1} : ℤ → ℤ を

f_{1}(n) = 2n + 1

と定義すれば、問題 10.1 の g に対し g ∘ f_{1} = idℤ が成り立つことを示しなさい。

定義 10.2. 写像 f : X → Y が与えられているとき、 (1) X の部分集合 A に対して、その f による像 (順像とも言う) f(A) を

f(A) = {f(x)|x ∈ A}

で定義する。

(2) Y の部分集合 B に対して、その f による逆像 f^{−1}(B) を

f^{−1}(B) = {x ∈ X; f(x) ∈ B}

により定義する。

逆写像と同じ記号 f^{−1} を使っているけれども、\underline{集合の逆像は f の逆写像が存在しない場合においても定義される} ということに注意しておこう。

問題 10.4. f : ℝ ∋ x ↦ x^{2} ∈ ℝ に対して、 (1) f({1, 2}) を求めよ。

(2) f({−3, 3, 5}) を求めよ。

問題 10.5. f : ℝ ∋ x ↦ x^{2} ∈ ℝ に対して、 (1) f^{−1}([1, 2]) を求めよ。

(2) f^{−1}({1}) を求めよ。

(3) f^{−1}({2}) を求めよ。

(4) f^{−1}({−1}) を求めよ。