論理と集合要約 NO.12

第 12 回目の主題 : 写像は定義域の元を分類する。

一般に、写像 f : X → Y が与えられると、 X の元は f の値によってクラス分けされる。

命題 12.1. f : X → Y が与えられているとし、 y ∈ Y に対して、 f^{−1}({y}) のことを X_{y} と書くことにすると、次のことが成り立つ。

(1) X は {X_{y}}_{y∈Y} の和集合である。

(2) y ∈ Y に対して、 f^{−1}({y}) ≠ ∅ ⇔ y ∈ f(Y).

(3) X_{y} ∩ X_{y′} ≠ ∅ ⇔ (y = y′ and y ∈ f(Y)).

X_{y} のなかで、空集合を省くことにより、 X の下の意味でのクラス分けを作ることができる。

定義 12.2. 集合 X の部分集合の族 {C_{λ}}_{λ∈Λ} が X のクラス分け (分割とも言う) であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。

(1) ⋃_{λ∈Λ} C_{λ} = X.

(2) λ_{1}, λ_{2} ∈ Λ , λ_{1} ≠ λ_{2} ならば C_{λ_{1}} ∩ C_{λ_{2}} = ∅.

クラス分け、班分け、分類、分別、等々ほぼ同じ意味だが、ここでは主に「クラス分け」という言葉を使う。

命題 12.3. [figure: 写像 f : X → Y が与えられたとき、 f は X のクラス分けを与える。]

問題 12.1. X = {1, 2, 3, …, 31}, Y = {0, 1, 2, …, 6}, f : X → Y を f(x) =(x を 7 で割った余り) で定義する。

(1) f は全射だろうか。単射だろうか。

(2) X の f に関するクラス分けの表を書きなさい。

問題 12.2. f : X = ℝ^{2} ∋ (x, y) ↦ x ∈ ℝ = Y に対して、 f によるクラス分けを考える。 (1) (1, 0) と (1, 5) とは同じクラスに入ることを示しなさい。

(2) (1, 0) と (2, 5) とは同じクラスでないことを示しなさい。

(3) (1, 0) と同じクラスになるような (a, b) ∈ ℝ^{2} をすべて求めなさい。

(4) X_{0}, X_{2}, X_{−1} を求めなさい。

問題 12.3. X = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x^{2} + y^{2} ≤ 10^{2}}, Y = ℝ とおく。 f : X ∋ (x, y) ↦ x ∈ Y に対して、 f によるクラス分けを考える。

(1) f は全射だろうか。単射だろうか。

(2) (1, 0) と (1, 5) とは同じクラスに入ることを示しなさい。

(3) (1, 0) と (2, 5) とは同じクラスでないことを示しなさい。

(4) (1, 0) と同じクラスになるような (a, b) ∈ X をすべて求めなさい。

(5) X_{0}, X_{2}, X_{−1} を図示しなさい。

(6) X_{20} を求めなさい。

問題 12.4. f : X = ℝ^{2} ∋ (x, y) ↦ x^{2} + y^{2} ∈ ℝ = Y に対して、 (1) (1, 0) と (0, −1) とは同じクラスであることを示しなさい。

(2) (1, 0) と (2, 5) とは違うクラスであることを示しなさい。

(3) (1, 0) と同じクラスになるような (a, b) ∈ ℝ^{2} をすべて求め、図示しなさい。

(4) X_{2}, X_{0} を求めなさい。