代数学演習 IB 問題 NO.4

剰余環編

問題 4.1. (各 1) R は単位元をもつ環であるとし、 I をそのイデアルとする。このとき、

(1) R に同値関係 ∼ が、次のようにして決まることをしめしなさい。

a ∼ b ⇔ a − b ∈ I.

(2) R/ ∼ に、足し算を次のようにして入れる。

ā + b̄ = \overline{a + b} (¯? は ? の ∼ に関するクラスを表す。 )

この足し算はうまく定義されていて、 R/ ∼ はこの足し算について可換群になることをしめしなさい。

(3) R/ ∼ に、かけ算を次のようにして入れる。

ā · b̄ = \overline{a · b}

このかけ算はうまく定義されていて、 R/ ∼ はこのかけ算について半群になることを示しなさい。

(4) R/ ∼ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなすことを示しなさい。この環の単位元はなにですか？

定義 4.1. 上の補題の仮定のもとで、 R/ ∼ に上のような足し算、かけ算を入れて環にしたものを R/I と書き、 R の I による剰余環と呼ぶ。

問題 4.2 (この問題は全部といて一点). ℤ のイデアル I = 10ℤ について、 ℤ に上記補題のような同値関係をいれたとき、

(1) 1 と同値であるような ℤ の元を正、負ともに 2 個ずつあげ、それらを a_{1}, …, a_{4} とする。 a_{1}, …, a_{4} が実際に 1 と同値であることを定義にもとづいて示しなさい。

(2) 3 と同値であるような ℤ の元を正、負ともに 2 個ずつあげなさい。それらを b_{1}, …, b_{4} とする。

(3) 上のようにして取った a_{i}, b_{j} の全ての組合せ (16 通り) について、

a_{i} + b_{j}

をもとめ、そのおのおのについて、それと同値になる ℤ の元を {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} のなかから一つ選びなさい。

問題 4.3 (この問題は全部といて一点). ℤ/10ℤ において、整数 ? のクラス (同値類) を [?]_{10} で表すことにする。このとき、

(1) [10]_{10} = [0]_{10} であることを証明しなさい。

(2) [2]_{10} ≠ [0]_{10} であることを証明しなさい。

(3) [5]_{10} ≠ [0]_{10} であることを証明しなさい。

(4) [2]_{10} × [5]_{10}, [3]_{10} × [7]_{10} をできるだけ簡単な形になおしなさい。

問題 4.4. ℤ/11ℤ の元 x で x^{2} = 3 を満たすものをすべて求めなさい。

問題 4.5. ℤ/7ℤ の元 x で x^{2} = 3 を満たすものをすべて求めなさい。

問題 4.6. ℤ/11ℤ の元 x で x^{3} + x + 5 = 0 を満たすものをすべて求めなさい。

問題 4.7. ℤ/11ℤ の元 x で x^{3} + x + 1 = 0 を満たすものをすべて求めなさい。問題 4.8. ℤ/15ℤ の元 x で x^{2} = 1 を満たすものを、全て挙げなさい。

問題 4.9. n = 3 × 5 × 7 × 11(= 1155) とする。 ℤ/nℤ のなかで、

x^{2} = 1

を満たすものを、全て挙げなさい。 (それで全部であることを証明すること。 )

問題 4.10.

1234567891234567

を 9 で割ったあまりはいくらだろうか？できるだけ簡潔な理由をつけて (計算機を用いることなく) 答えなさい。

問題 4.11.

1234567891234567

を 11 で割ったあまりはいくらだろうか？できるだけ簡潔な理由をつけて (計算機を用いることなく) 答えなさい。

問題 4.12.

1234567891234567

を 99 で割ったあまりはいくらだろうか？できるだけ簡潔な理由をつけて (計算機を用いることなく) 答えなさい。

問題 4.13. 次のことを正当化しなさい。「123456789 を 13 で割った余りは

123 − 456 + 789

を 13 で割った余りとおなじである。任意の 9 桁の数で同様のことができる。」

問題 4.14. 3^{100} の下 3 桁を計算機を使わずに計算せよ。

問題 4.15. 10^{10^{10}} を 17 で割った余りを計算せよ。

(注意) 10^{10^{10}} は (10^{10})^{10} とは (当然のことながら) まるで異なる。