代数学演習 IB 問題 No.6

問題 6.1 (全部で1点)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への次の写像はいずれも環準同型でないことを示しなさい。

1. $f_1(x)=(x+1)/2$
2. $f_2(x)=x^2$
3. $f_3(x)=2 x-1$
4. $f_4(x)=x^3+x^2-x$

問題 6.2 (全部で1)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型 $\varphi$ があったとする。

1. $\varphi(2),\varphi(3)$ を求めよ。
2. 任意の $k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ にたいして、 $\varphi(k)=k$ であることを示しなさい。
3. $\varphi(k)=k \qquad(\forall k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ を示しなさい。

問題 6.3 (全部で1)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型 $\varphi$ で、 $\varphi(X)=3$ をみたすもの があったとする。

1. $\varphi(k)=k \qquad(\forall k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ を示しなさい。
2. $\varphi(5X),\varphi(X^3)$ をそれぞれもとめなさい。
3. $\varphi(X^3+5 X +7)$ をもとめなさい。
4. $p(X)=\sum_j a_j X^j$ にたいして、 $\varphi(p)$ をもとめなさい。

問題 6.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.5   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.6   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.8 (各1点)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への環準同型 $f$ が与えられているとするとき、

1. $f($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}) \subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ であることを示しなさい。
2. $x,y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $x\leq y$ ならば $f(x)\leq f(y)$ であることを示しなさい。
3. $f$ は連続であることを示しなさい。
4. $f={\operatorname{id}}$ (恒等写像) であることを示しなさい。

問題 6.9   ${\mathbb{C}}$ から ${\mathbb{C}}$ への準同型写像の例を二つ(以上)挙げなさい。 (二つはかなり簡単に見つかるが、三つめを挙げるのは超難問である。 それゆえ二つ答えるのが無難である。)

以下この演習では、とくに断らないで $[?]_n$ で $?$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ でのクラスを表すことがある。 文脈でわかると思うので、いちいち書かないが、注意していただきたい。

問題 6.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を

$$f([x]_{20})=[x]_5 \qquad (x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定める。 このとき、$f$ はうまく定義されていて、環準同型である ことを示しなさい。

問題 6.11   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/31{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を

$$f([x]_{31})=[x]_7 \qquad(x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定めたいが、$f$ はうまく定義されていて、環準同型である だろうか。理由をつけて答えなさい。

問題 6.12   体 $K$ から 環 $R$ への準同型写像は 必ず単射であることを示しなさい。

問題 6.13   環準同型写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [x]_{18}\mapsto [x]_6 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を考える。 一行目に $x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (18個), 二行目に $f(x)$ が並んだような表を作り、 $\operatorname{Ker}(f)$ , $f^{-1}([1]_6)$ , $f^{-1}([2]_6)$ をそれぞれ求めなさい。

問題 6.14   環準同型写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [x]_{20} \mapsto [x]_{4}\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を考える。 一行目に $x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (18個), 二行目に $f(x)$ が並んだような表を作り、 $\operatorname{Ker}(f)$ , $f^{-1}([1]_6)$ , $f^{-1}([2]_6)$ をそれぞれ求めなさい。

問題 6.15   行列

$$A= \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}\in M_n({\mathbb{C}})$$

にたいして、

$$\varphi:{\mathbb{C}}[X] \to M_n({\mathbb{C}})$$

を

$$\varphi(p)=p(A)$$

で定義する。 このとき、

1. $\varphi(X),\varphi(X^2),\varphi(X^3)$ を求めなさい。
2. $\varphi(X^7+X+1)$ をもとめなさい。
3. $\varphi$ は環準同型であることを示しなさい。
4. $\operatorname{Ker}(\varphi)$ を求めなさい。

5. $$\operatorname{Image}(\varphi)= \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}; a,b\in {\mathbb{C}} \right\}$$
   であることを証明しなさい。