代数学演習 I 問題 NO.8

今回（No.8）は、「環」と言えば単位元を持つ可換環のことを指すことにします。また、「準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

問題 8.1. (各 1) 次の各々の環の同型を準同型定理を用いて証明しなさい。

(1) ℚ[X]/(X − 6) ≅ ℚ.

(2) ℤ[X]/(X + 7) ≅ ℤ.

(3) ℂ[X]/(X − π) ≅ ℂ (ただし π は円周率。 )

(4) 𝔽_{11}[X]/(X − 4) ≅ 𝔽_{11}.

問題 8.2. 一般に、体 K 上の一次式 p(X) = aX + b (a, b ∈ K, a ≠ 0) に対して、 K[X]/(p(X)) ≅ K であることを示しなさい。

問題 8.3. 前問で、 K が体であるという仮定をやめて K が一般の可換環であると仮定した場合には、 K[X]/(p(X)) は K と同型とは限らないことを示しなさい。

問題 8.4. ℚ[\sqrt{6}] ≅ ℚ[X]/(X^{2} − 6)ℚ[X] を示しなさい。

問題 8.5. 有理数体 ℚ の部分集合 ℤ[1/5] = {m/5^{n}; m ∈ ℤ; n = 0, 1, 2, …,) は ℚ の部分環になることを示しなさい。

問題 8.6.

(5X − 1)ℚ[X] ∩ ℤ[X] = (5X − 1)ℤ[X]

を示しなさい。

問題 8.7.

ℤ[1/5] ≅ ℤ[X]/(5X − 1)ℤ[X]

を示しなさい。

問題 8.8. 環 R のイデアル I と変数 X について、次の同型を示しなさい。

R[X]/IR[X] ≅ (R/I)[X]

問題 8.9. 環 S の部分環 R と S のイデアル I について、

R + I = {r + a; r ∈ R, a ∈ I}

は、 S の部分環となることを示しなさい。

問題 8.10. 環 S の部分環 R と S のイデアル I について、

S = R + I, R ∩ I = 0

が成り立てば、 S/I ≅ R となることを示しなさい。

問題 8.11. 環準同型 f : R → S について、 J が S のイデアルであれば、 f^{−1}(J) は R のイデアルとなることを示しなさい。

問題 8.12. (各 1) 環準同型 f : R → S について、

(1) I が R のイデアルのとき、 f(I) は S のイデアルとなりますか？ (ならなければ反例を挙げてください。 )

(2) f が全射ならどうですか？問題 8.13. K を体とします。このとき同型 K[X, Y]/XK[X, Y] ≅ K[Y] を示しなさい。

問題 8.14. 環 S とその部分環 R とについて、 P が S の素イデアルならば、 P ∩ R は R の素イデアルであることを示しなさい。「素イデアル」を「極大イデアル」にかえるとどうか？

問題 8.15. 環 R のイデアルに I について、 I · I を I^{2} と略記します。 J も R のイデアルで、 I + J = R となれば、 I^{2} + J^{2} = R となることを示しなさい。

問題 8.16. 整域 R の元 a, b について、次を示しなさい。

(1) a|b である (すなわち、ある c ∈ R があって、 b = ac と書ける) ことと、 aR ⊂ bR とは同値である。

(2) a と b とが同伴である (すなわち、 a|b かつ b|a が成り立つ) ことと、 aR = bR とは同値である。

以下は初等整数論からの補遺です。

問題 8.17. 正の整数 a, b の最大公約数が 1 であるための必要十分条件は、

al + bm = 1

を満たす整数 l, m が存在することである。これを示しなさい。

問題 8.18. (この問題に限っては前問が解けている、いないに拘わらずその結果を使ってよい。 (いずれにせよ講義でやるから。 )) 前問を用いて、 a, b が互いに素ならば、 a^{2} と b^{2} も互いに素であることを示しなさい。

問題 8.19. 前問を用いて、 a, b が互いに素ならば、 a^{2} と b^{2} も互いに素であることを示しなさい。

問題 8.20. 前問をもちいて、\sqrt{6} は無理数であることを証明しなさい。ただし、素因数分解の一意性の知識を用いないで証明すること。

問題 8.21. 前問と同じ前提条件で、一般に、平方数でない (つまり、 \{n^{2}; n ∈ ℤ\} の元ではない) 整数 m にたいして、\sqrt{m} は無理数であることを証明しなさい。

問題 8.22. 整数係数の多項式

p(X) = ∑_{j=0}^{n} a_{j}X^{j} (a_{j} ∈ ℤ (j = 0, 1, 2, …, n), a_{n} ≠ 0)

について、 p の、 0 でない有理根 r があったとする。すなわち、 p(r) = 0 とする。 r を既約分数\frac{l}{m} と書いたとき、

(1) r の分子 l は p の定数項 a_{0} の約数であることを示しなさい。

(2) r の分母 m は p の最高次の係数 a_{n} の約数であることを示しなさい。