代数学演習 I 問題 NO.11

復習的問題。

今回の問題は、以前まで出した問題を、数値的、もしくは組み合わせ的に複雑にしたものである。

問題 11.1. (各 1) 次の各々の環の同型を証明しなさい。 (1) ℚ[X, Y]/(X − 3, Y + 1) ≅ ℚ.

(2) ℝ[X, Y]/(X − 2, Y) ≅ ℝ.

(3) ℂ[X, Y]/(X − \sqrt{−1}, Y − 7) ≅ ℂ.

問題 11.2. (各 1) 次の ℤ のイデアルを簡単にせよ。 (1) (126221, 3483923)

(2) (8927, 17617, 26623)

(3) (6009829121, 11083254529, 11703651121)

(4) (11 · 13 · 17, 13 · 17 · 19, 11 · 13 · 19, 11 · 17 · 19)

いずれの問題も、それらが gcd で生成されるイデアルであるという知識を用いずに、イデアルの定義に基づいて解くこと。

問題 11.3. (各 1) 次の ℤ[\sqrt{−1}] のイデアルを簡単にせよ。前問の注意と同様のことに注意すること。

(1) (167 + 29\sqrt{−1}, 179 − 2\sqrt{−1})

(2) 138 − 7\sqrt{−1}, 201 − 17\sqrt{−1}).

問題 11.4. (各 1) (本問では、平方数以外の整数 n に対して、\sqrt{n} が無理数であ

ることを用いてよい。 ) 次の環としての同型を証明しなさい。 (1) ℚ[X]/(X^{2} − 5) ≅ ℚ[\sqrt{5}].

(2) ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) ≅ ℚ[\sqrt{−3}].

(3) ℚ[X]/(X^{2} + 3X − 5) ≅ ℚ[\sqrt{29}].

(4) ℚ[X]/(X^{2} + 2X + 2) ≅ ℚ[\sqrt{−1}].

問題 11.5. (各 1)(本問については、求め方も述べること。 )

(1) ℤ/141ℤ における 17 の逆元を求めよ。

(2) ℤ/112237ℤ における 7078 の逆元を求めよ。

(3) ℤ/10^{5}ℤ における 9 の逆元を求めよ。