代数学演習 I 問題 No.11

今回の問題は、以前まで出した問題を、数値的、もしくは組み合わせ的に複雑にした ものである。

問題 11.1 (各1)   次の各々の環の同型を証明しなさい。

1. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]/(X-3,Y+1) \cong$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X,Y]/(X-2,Y) \cong$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
3. ${\mathbb{C}}[X,Y]/(X-\sqrt{-1},Y-7) \cong {\mathbb{C}}$ .

問題 11.2 (各1)   次の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルを簡単にせよ。

1. $(126221, 3483923)$
2. $(8927, 17617, 26623)$
3. $(6009829121, 11083254529, 11703651121)$
4. $(11\cdot 13\cdot 17, 13\cdot 17\cdot 19, 11\cdot 13\cdot 19,11\cdot 17\cdot 19)$

いずれの問題も、それらが gcd で生成されるイデアルであるという 知識を用いずに、イデアルの定義に基づいて解くこと。

問題 11.3 (各1)   次の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[ \sqrt{-1}]$ のイデアルを簡単にせよ。 前問の注意と同様のことに注意すること。

1. $(167+29\sqrt{-1}, 179-2\sqrt{-1})$
2. $138 - 7 \sqrt{-1}, 201-17\sqrt{-1})$ .

問題 11.4 (各1)   (本問では、 平方数以外の整数 $n$ に対して、$\sqrt{n}$ が無理数であることを 用いてよい。) 次の環としての同型を証明しなさい。

1. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-5)\cong$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt{5}]$ .
2. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2+X+1)\cong$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt{-3}]$ .
3. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2+3 X -5)\cong$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt{29}]$ .
4. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2+2 X +2)\cong$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt{-1}]$ .

問題 11.5 (各1)   (本問については、求め方も述べること。)

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/141 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における $17$ の逆元を求めよ。
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/112237{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における $7078$ の逆元を求めよ。
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10^5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における $9$ の逆元を求めよ。