代数学演習 I 問題 No.12

問題 12.1   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ の元を全て挙げなさい。

問題 12.2   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ の元を全て挙げなさい。

問題 12.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ であることを示しなさい。

問題 12.4   $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を

$$f([x]_4)=[9 x]_{12}$$

で定義する。このとき、$f$ はうまく定義されて、和と積を保つが、単位元を保たない (従って本演習では環準同型の仲間には入れない)ことを示しなさい。

問題 12.5 (各1)   単位元を持つ可換環 $R,S$ の間の写像 $f: R\to S$ が和と積を保つとします。 このとき、次のことをすべて示しなさい。

1. $e=f(1)$ は $S$ の巾等元である。(すなわち、$e^2=e$ .)
2. $S_1=e S$ とおくと、$S_1$ は環である。
3. $f$ は $R$ から $S_1$ への 環準同型を定義する。

問題 12.6 (各1)   $l,m$ を互いに素な正の整数とし、

$$f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

を

$$f([x]_{lm})=([x]_l,[x]_m)$$

で決める。このとき、

1. $f$ はうまく定義されていることを示しなさい。
2. $f$ は環準同型であることを示しなさい。
3. $f$ の核はどうなるか？ ((本問に関しては整数の約数、倍数の基本的な性質を用いても良い。)
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/l{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元の個数をそれぞれ言いなさい。
5. $f([x]_{lm})=([1]_l,[0]_m)$ を満たす整数 $x$ が 存在することを示しなさい。
6. 上の $x$ にたいして、
   $$x= k_1 l +1 =k_2 m$$
   なる整数 $k_1,k_2$ が存在することを示し、そのことから、
   $$a l +b m=1$$
   を満たす $l,m$ が存在することの証明を与えなさい。

問題 12.7 (各1)  

1. $123$ で割ると $4$ あまり、$276$ で割ると $7$ 余るような整数をひとつ 挙げよ。
2. 上記のような整数をすべて求めよ。(もちろん理由も述べること。)
3. $137$ で割ると $4$ あまり、$251$ で割ると $46$ 余るような正の整数のうち、 最小のものを求めよ。

問題 12.8 (各1)  

1. ${\mathbb{C}}[X]$ のなかの元 $f(X)$ で、 $3 X$ で割ると $1$ 余り、 $5 X^2-1$ で割ると $X+3$ 余るような ものの例を一つ挙げなさい。
2. 上のような $f(X)$ を全て求めなさい。