代数学 IB NO.3 要約

今日のテーマ: イデアル、「生成されるイデアル」

定義 3.1. R は単位元をもつ環であるとし、 I はその部分集合であるとする。 I が R のイデアルであるとは、次の条件が成り立つときにいう。

(1) I は (R, +) の部分群である。すなわち、 I は R の加・減法について閉じている。

(2) I の元に R の元を右から掛けても左から掛けてもやっぱり I の元になる。すなわち、任意の x ∈ I と任意の r ∈ R について、

rx ∈ I, xr ∈ I

が成り立つ。

例 3.1 (イデアルの例).

(1) 10ℤ は ℤ のイデアルである。

(2) もっと一般に、 n > 0 にたいして、 nℤ は ℤ のイデアルである。 (3) 更に一般に、任意の可換環 R と任意の a ∈ R にたいして、 aR

は R のイデアルである。

(4) 任意の環 R に対して、 {0} は R のイデアルである。

「生成される部分環」を扱った時と同じ議論で、次のことが成り立つことがわかる。

補題 3.1. 環 R の部分集合 S が与えられているとする。このとき、 S を含む R のイデアルのうち、最小のものが存在する。 (これを S で生成される R のイデアルといい、 ⟨S⟩_{R-イデアル}とか、 (S) と書く。 )

例 3.2. 環 ℤ のイデアルとして、次のことが成り立つ。 (1) (2) = 2ℤ.

(2) (10) = 10ℤ.

(3) (12, 18) = 6ℤ.

(4) (10, 24) = 2ℤ.

例 3.3. 環 ℚ のイデアルとして、次のことが成り立つ。 (1) (2) = ℚ.

(2) (10) = ℚ.

(3) (12, 18) = ℚ.

(4) 上の例に限らず全ての ℚ のイデアルは {0} か ℚ 自身である。

上の２つの例を比較すると分かるように、どの環で考えるかが大変重要である。

問題 3.1. ℤ のイデアル I が 4615 と 1469 を元として含むとき、 13 も I の元であることを示しなさい。