代数学 IB NO.4 要約

今日のテーマ剰余環

補題 4.1. R が単位元をもつ環であるとし、 I をそのイデアルとする。このとき、

(1) R に同値関係 ∼ が、次のようにして決まる。

a ∼ b ⇔ a − b ∈ I.

(2) R/ ∼ に、足し算を次のようにして入れる。

ā + b̄ = \overline{a + b} (¯? は ? の ∼ に関するクラスを表す。 )

この足し算はうまく定義されていて、 R/ ∼ はこの足し算について可換群になる。

(3) R/ ∼ に、かけ算を次のようにして入れる。

ā · b̄ = \overline{a · b}

このかけ算はうまく定義されていて、 R/ ∼ はこのかけ算について半群になる。

(4) R/ ∼ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなす。しかも、この環は単位元 ¯1 を持つ。

定義 4.1. 上の補題の仮定のもとで、 R/ ∼ に上のような足し算、かけ算を入れて環にしたものを R/I と書き、 R の I による剰余環と呼ぶ。

例題 4.1. 17770430 を 9 で割った余りを求めよ。

(解答) 整数 n の ℤ/9ℤ におけるクラス (剰余類) を n̄ と書くことにする。一般に、\overline{10} = \overline{1} であることに注意すると、

\overline{10}^{k} = \overline{1} (k ∈ ℤ_{>0})

というという等式が成り立つことがわかる。これを用いると、

\overline{17770430} =\overline{1 × 10^{7} + 7 × 10^{6} + 7 × 10^{5} + 7 × 10^{4}}
\overline{+0 × 10^{3} + 4 × 10^{2} + 3 × 10^{1} + 0}
=\overline{1} × \overline{10}^{7} + \overline{7} × \overline{10}^{6} + \overline{7} × \overline{10}^{5} + \overline{7} × \overline{10}^{4}
+ \overline{0} × \overline{10}^{3} + \overline{4} × \overline{10}^{2} + \overline{3} × \overline{10}^{1} + \overline{0}
=\overline{1} + \overline{7} + \overline{7} + \overline{7} + \overline{0} + \overline{4} + \overline{3} + \overline{0}
= \overline{1 + 7 + 7 + 7 + 0 + 4 + 3 + 0}
= \overline{29} = \overline{2 × 10 + 9} = \overline{2 + 9} = \overline{2}

を得る。 (答え) 2 (注意) 九去算は計算機のない時代に、計算の確かめの目的で使われた。現在でも、占い (バカラ占い) 等で名残を見かけることがある。

問題:

あなたの思い付いた 8 桁以上の数 (簡単すぎないもの) を x とします。このとき、 x × 314159265 + 1234567 を 9 で割ったあまりを (計算機やコンピュータを使わずに) 求めなさい。 x 自身と、求め方も書くこと。なお、検算にコンピュータ等を使用するのは構わないし、むしろ推奨する。