代数学 IB NO.5 要約

今日のテーマ《剰余環、素イデアル、極大イデアル》

前回までに、環 R の、そのイデアル I による剰余環について解説した。

x̄ = ȳ⇔x − y ∈ I

なる判定法により R にクラス分けが入ること、 R/I に加法、乗法が代表元のとり方によらずに定まることがポイントであった。たとえば ℤ/11ℤ において、

\overline{153} × \overline{493}

を計算するのに、\overline{153 × 493} を計算してもよいが、\overline{153} = \overline{−1}, \overline{493} = \overline{−2} と代表元を取り換えてから\overline{−1} × \overline{−2} とやっても良いわけである。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

次のことにも注意しておこう。

一般に、 R/I とは環 R に I の各元 x に応じた関係式 x = 0 を新たに導入しててきた環である。例えば:

• ℤ/6ℤ とは、 ℤ に新たな関係式 6 = 0 を導入してできた環である。

• ℚ[X]/(X^{2} − 2) とは、 ℚ[X] に新たな関係式 X^{2} − 2 = 0 を導入してできた環である。

• ℚ[X, Y]/(X^{2} − 2, XY) とは、 ℚ[X] に新たな関係式 X^{2} − 2 =

0, XY = 0 を導入してできた環である。

ℤ/nℤ のような剰余環の性質は、いままで知っていた数のものとは若干異なる。そのことを説明するために、いくつかの言葉を用意しておく。

定義 5.1. 可換環 R の元 x が R の零因子であるとは、 xy = 0 かつ y ≠ 0 をみたす R の元 y が存在するときに言う。

定義 5.2. 可換環 R があたえられたとする。 (1) R に 0 以外の零因子がないなら、 R は整域であるという。

(2) R の 0 以外の元が R で可逆であるとき、 R は体であるという。

もちろん、体は必ず整域である。

定義 5.3. 可換環 R のイデアル I (R ≠ I) について、 (1) R/I が整域であるとき、 I は R の素イデアルであるという。 (2) R/I が体であるとき、 I は R の極大イデアルであるという。

これらの名前の由来はもっとあとのほうで述べる。さしあたっては、次の例が重要である。

例 5.1.

(1) ℤ のイデアル {0} は ℤ の素イデアルであるが、極大イデアルではない。

(2) 素数 p があたえられたとき、 ℤ のイデアル pℤ は ℤ の極大イデアルである。

(3) 正の整数 n が素数でないとき、 nℤ は ℤ のイデアルではあるが、素イデアルではない。

定義 5.4. 素数 p が与えられたとき、 ℤ/pℤ は (上の例に述べたように) 元の数が p の体である。この体を 𝔽_{p} と書く。