代数学 IB NO.7 要約

今日のテーマ《多項式環の扱い方と環準同型定理》

環 R から S への準同型 f が与えられたとき、写像に関する一般論から f による R のクラス分けができる。それは Ker(f) による R のクラス分けと一致するのでした。

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環 R 上の一変数多項式環 R[X] とは、 R の元と、一つの変数 X とで生成される環であった。同様に R[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] を定義することができる。その出自から当然、次の補題が成り立つ

補題 7.1. 任意の環 R について、

R[X][Y] ≅ R[X, Y]

という自然な同型が存在する。もっと一般に

R[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] ≅ R[X_{1}, X_{2}, …, X_{n−1}][X_{n}]

がなりたつ。

命題 7.1 (代入原理). 環 S とその部分環 R が与えられているとする。このとき、任意の S の元の n 個の組 s = (s_{1}, s_{2}, …, s_{n}) にたいして、次のような環準同型 ψ_{s}[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] → S が唯一つ存在する。

(1) ψ(r) = r (∀r ∈ R),

(2) ψ(X_{j}) = s_{j} (j = 1, 2, 3, …, n). さらに、 ψ は次のような形で与えられる。

ψ(p) = p(s_{1}, s_{2}, …, s_{n})

例 7.1. 環としての同型 ℝ[X]/(X^{2} + 1)ℝ[X] ≅ ℂ が存在する。 ℝ[X] から ℂ への写像 f を、

f(p) = p(\sqrt{−1})

で定めると、次のことが分かる。 (1) f は写像としてうまく定義されている。

(2) f は環の準同型である。

(3) f の像は ℂ 全体である。

(4) f の核は (X^{2} + 1)ℝ[X] である。よって、準同型定理により、

ℝ[X]/(X^{2} + 1)ℝ[X] ≅ ℂ

が結論される。

問題

環準同型 f : ℤ[X] → ℤ が与えられていて、 f(X) = 3 だと分かっているとする。このとき、

(1) 多項式 X^{2} + 3X + 5 ∈ ℤ[X] の f による像を具体的に求めなさい。

(2) Ker(f) の元で、 0 と異なるものを具体的に 3 つあげなさい。