代数学 IB NO.13 要約

今日のテーマ逆元といえば、ハイ互除法。

ユークリッド環 (余りを許したわり算のできる環) R においては、与えられた a, b ∈ R にたいし、 a, b の最大公約数 d が存在し、互除法により、 al + bm = d を満たす l, m を具体的に求めることができるのでした。 (No.8 参照。 )

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命題 13.1. 環 R と、 a, b, d ∈ R に対して、次の二条件は同値である。 (1) R のイデアルの等式 (a, b) = (d) が成り立つ。

(2) al + bm = d (∃l, m ∈ R) かつ d|a かつ d|b が成り立つ。

単項イデアル整域 (PID) R においては、与えられた a, b ∈ R について、命題 13.1 の二番目の条件を満たす (d) が存在することに注意。

定理 13.2. PID R の元 a, b が互いに素であるとき、 R/(a) において、 b の同値類 [b]_{(a)} は逆元をもつ。

実際、 al + bm = 1 を満たす l, m ∈ R が存在する。 [l]_{(a)} がその逆元である。

定義 13.1. R_{1}, R_{2} は環であるとする。このとき、 R_{1}, R_{2} の環としての直積とは、デカルト積集合 R_{1} × R_{2} の上に、次のような演算を定義したものである。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) × (c, d) = (ac, bd)

R_{1} と R_{2} の環としての直積を、普通 R_{1} × R_{2} と書く。

補題 13.1. R_{1}, R_{2} は環であるとする。このとき、 (1) R_{1} × R_{2} は環になる。

(2) R_{1}, R_{2} の単位元がそれぞれ 1_{R_{1}}, 1_{R_{2}} とすると、 R_{1} × R_{2} の単位元は (1_{R_{1}}, 1_{R_{2}}) である。

(3) R_{1}, R_{2} がともに可換ならば、 R_{1} × R_{2} も可換である。

ベクトル空間で基本ベクトルが重要な役割を果たしたように、環の直積においても、 e_{1} = (1_{R_{1}}, 0_{R_{2}}) と e_{2} = (0_{R_{1}}, 1_{R_{2}}) が重要な役割を果たす。関係式

e_{1} + e_{2} = 1, e_{1}e_{2} = 0, e_{1}^{2} = e_{1}, e_{2}^{2} = e_{2}

が成り立つことに注意せよ。 e_{1}, e_{2} は直積の「射影」 (もしくは射影元) と呼ばれる。

命題 13.3. 環 R の元 a, b が (a, b) = (1) を満たすとき、

R/(ab) ∋ [x]_{ab} ↦ ([x]_{a}, [y]_{b}) ∋ R/(a) × R/(b)

なる写像は環の同型を与える。

例 13.1 (環の直積分解の具体例).

(1) ℤ/12ℤ は ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ と同型である。

(2) ℂ[X]/(X^{2} − X) は ℂ[X]/(X) × ℂ[X]/(X − 1) と同型である。

※三つの環 R_{1}, R_{2}, R_{3} の直積も二つの場合と同様に定義される。環 (R_{1} × R_{2}) × R_{3} は R_{1} × R_{2} × R_{3} と同型である。４つ以上でも同様。

古典的な 105 減算は、同型 ℤ/105ℤ ≅ ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ をもとにしている。問題

(I) L = 2012113 とおく。このとき、 5 桁以上の正の整数 N(< L) を自分できめて、その N にたいして, ℤ/Lℤ において、 N の逆元をもとめよ。

(II) 1000 で割ると 17 余り、 1003 で割ると 34 余るような整数 n の例を一つ求めよ (途中の計算はある程度省略してよい。ただし求めた方法は書いておくこと。 )