代数学 IB NO.14 要約

今日のテーマ《多項式環は素元分解環である》

定理 14.1. R が素元分解環ならば R[X] も素元分解環である。

上の定理の系として直ちにわかる次のことは大変基本的で、重要である。

系 14.2. 素元分解環 R 上の n 変数多項式環 R[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] はまた素元分解環である。

補題 14.1. 整域 R が与えられているとき、集合

S_{R} = R × (R \ {0}) = {(a, b); a ∈ R, b ∈ R, b ≠ 0}

に同値関係を

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ad = bc

で定義する。 (a, b) ∈ S_{R} のこの同値関係によるクラスを a/b と書く。 Q(R) = S_{R}/ ∼ に和、積を

a/b + c/d = (ad + bc)/bd
a/b · c/d = (ac)/(bd)

で定義すると、これらはうまく定義されて, Q(R) は体になる。

定義 14.1. 整域 R にたいして上のように作られる環 Q(R) を R の商体と呼ぶ。

定理 14.1 の証明には、 Q(R)[X] の素因数分解を利用して R[X] の素因数分解をすることを考える。そのために次の概念を用いよう。

定義 14.2. 素元分解環 R 上の一変数多項式 f が原始的であるとは、 f の係数を全て集めたものの最大公約数が 1 であるときにいう。

多項式の係数の「共通因数」をくくり出すことにより、次のことが言える。

補題 14.2. 任意の f ∈ R[X] は

f = af_{1} (a ∈ R, f_{1} ∈ R[X] は原始的)

と書くことができる。 a は同伴を除いて一意的である。

補題 14.3 (ガウス). 素元分解環 R が与えられているとし、 K = Q(R) とおく。このとき

(1) R[X] の元 f, g と R の素元 p とにたいして、

fg ∈ pR[X] ⇔ (f ∈ pR[X] or g ∈ pR[X])

(2) R[X] の原始的な元の積は必ず原始的である。

(3) R[X] の原始的な元 f について、次のことは同値である。 (a) f は R[X] の素元である。

(b) f は R[X] の既約元である。

(c) f は K[X] の既約元である。

(d) f は K[X] の素元である。

証明. (1) R[X]/pR[X] ≅ (R/p)[X] であり (問題 14.2)、 (R/p は整域だから、 (R/p)[X] も整域。ゆえに pR[X] は R[X] の素イデアルである。

(2) は (1) からすぐに従う。 (3): (a) ⟹ (b) は補題 10.3 の (1) から従う。 K[X] はユークリッド整域であるから、一意分解環。ゆえに、 (c) ⇔ (d) である。

(b) ⟹ (c): f は R[X] の原始的既約元であるとする。 f がもし K[X] で既約でなければ、

c_{1}f = c_{2}g_{1}h_{1}

代数学 IB NO.14

(c_{1}, c_{2} ∈ R \ {0}, g_{1}, h_{1} ∈ R[X] は原始的かつ 1 次以上) なる c_{1}, c_{2}, g_{1}, h_{1} が存在することが分かる。 g_{1}h_{1} は (2) により原始的であるから。 c_{1} と c_{2} は同伴。そのことから、

f = ug_{1}h_{1}(∃u ∈ R^{×})

がわかる。これは f が R[X] の既約元であることに反する。

(d) ⟹ (a): f は R[X] の原始的な元で、 K[X] の素元であるとする。 gh ∈ fR[X] なる g, h ∈ R[X] があるとすると、 K[X] のなかで考えることにより

g ∈ fK[X] or h ∈ fK[X]

がわかる。どちらでもおなじことであるから g ∈ fK[X] としよう。一般性を失うことなく、 g は原始的であると仮定してよい。 g ∈ K[X] から

b_{0}g = b_{1}fm

なる b_{0}, b_{1} ∈ R \ {0} と、原始的な元 m ∈ R[X] の存在が分かる。再び (2) のより、 b_{0} と b_{1} とは同伴であることを知る。したがって、 g ∈ fR[X]. □

問題 14.1. 整域 R にたいして、 Q(R) の和がうまく定義されることを実際に証明せよ。

問題 14.2. 可換環 R が与えられているとする。このとき、任意の p ∈ R にたいして環としての同型

R[X]/pR[X] ≅ (R/pR)[X]

が存在することを示しなさい。