微分積分学概論 AI 要約 NO.1

本講義の目的 : 極限と連続性の詳論

高校までの数学が「料理を味わう勉強」とするなら、この講義での数学は「料理を作る勉強」である。とは言っても、「野菜を畑で作る」ところから始めると大変なので、ある程度は出来合いのものをもちいる。他方で、「レトルトを温めておしまい」では料理とはよべない。おなじように、高校で習った「中間値の定理」などの定理をここで手ばなしで使ってはいけない。指数関数、対数関数、三角関数等もアウトである。ではどこまで用いいて良いかといえば次のようになる。

◎この講義で用いて良いもの (材料): 整数、有理数、実数の、和、差、積、商、等号、不等号。 ◎この講義で作るもの (料理): 極限、収束、連続の諸概念。中間値の定理などの連続関 数に関する諸定理。

定義 1.1. 以下この講義では次のような記号を用いる。 (1) ℤ : 整数全体のなす集合。

(2) ℚ : 有理数全体のなす集合。

(3) ℝ : 実数全体のなす集合。

(4) ℂ : 複素数全体のなす集合。

◎集合と、その元との区別が大事。「実数の集合を一つ考える。」というのと、「実数を一つ考える。」というのをよく意識して区別すること。

定理 1.2. 次の不等式が成り立つ。 (1) x ∈ ℝ に対して、 −|x| ≤ x ≤ |x|.

(2) ([figure: 三角不等式]) x, y ∈ ℝ に対して、 |x + y| ≤ |x| + |y|.

定義 1.3. 実数 a, b について、閉区間 [a, b] と開区間 (a, b) をつぎの式で定める。

[a, b] = {x ∈ ℝ|a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ ℝ|a < x < b}

実数の集合の例、上限、上界

◎ [a, b] には端点があって、そこでのようすは [a, b] のほかの点のようすと大きく異っている。それに対して、 (a, b) の各点はどの点も似ている。

◎ [a, b] には最大元があるが、 (a, b) にはない。次の定義を見よ。

定義 1.4. ℝ の部分集合 A が与えられているとする。このとき (1) a ∈ ℝ が A の上界 (upper bound) であるとは、

∀x ∈ A(x ≤ a)

(つまり、どの x ∈ A をもってきても x ≤ a ) が成り立つときに言う。

(2) a ∈ ℝ が A の[figure: 上限](supremum) であるとは、 A の上界のうち最小のものをいう。

◎集合の上界は存在するとは限らない。また、上界が存在したとすると、それはいくつもある。

例 1.5.

T = { 土佐電鉄 (*) の運賃} = {120, 200, 220, 300, 400, 460}

とおく ((*)2014/4/1 現在)。このとき、

(1) T の上界としては、 1000 がある。これは「土佐電鉄に乗るときは 1000 円あればひとり分のお金は足りる」ことを意味している。

(2) T の上界としては、他にも 500, 一万、十万、 951.777.. 等がある。 (3) T の上限は 500 である。

旅行に行くとき、かかる旅費をキッチリ計算して、その分のお金しか持って行かない人は少なかろう。「大体△万円あれば十分」とか見積もる。これが上界の考え方。

例 1.6. (最大値を持たないが上限を持つ集合たち)

(1) \{\frac{n−1}{n}; n = 1, 2, 3, … \} は上限 1 をもつ。

(2) {x ∈ ℝ; x < 2} は上限 2 を持つ。

(3) \{x ∈ ℚ; x^{2} < 2\} は上限\sqrt{2} を持つ。

定義 1.7. 集合 A ⊂ ℝ が上に有界であるとは、 A が上界を少なくとも一つもつときに言う。

例題 1.8. f(x) = x^{4} − 6x^{3} + 11x^{2} − 6x とおく。このとき

S = {x ∈ ℝ; f(x) < 0}

は上界をもつだろうか、

(解答) f(x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) と因数分解できるので、

S = (0, 1) ∪ (2, 3)

であることがわかる。したがって、 S は上界 10 をもち、上に有界である。

上界は一つ挙げれば十分である。上の例題なら 3 (上限) でも良いし、 100 でもよい。 f が因数分解できない場合も、つぎのような別解ならうまくいく。

(別解) まず、 M = 100 とおくと、 S の元 s は s ≤ M を満たす。なぜなら、もし s > M なる s ∈ S が存在したとすると、

f(s) = s^{4} − 6s^{3} +11s^{2}−6 s
>100s^{3} − 6s^{3}+11·0− 6·s^{3} = 88s^{3} > 0

となって、これは s ∈ S に反するからである。 (s > 1 のとき s < s^{2} < s^{3} <

… に注意。負の項は多めに見積もり、正の項は控えめに見積もる。 ) したがって、

M は S の上界の一つである。

問題 1.1. 次の各問に答えなさい。

(1) {|x^{3} − 10x^{2} + 100x − 1000| ; x ∈ [0, 1]} の上界を一つ挙げ、その理由を述べなさい。

(2)

S = {x ∈ ℝ; 5x^{4} − 4x^{3} + 3x^{2} + 4x − 5 < 0}

は上界をもつだろうか、もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。

次のことは、実数の極限を考える上で基本的である。

公理 1.9. ℝ の部分集合 S ≠ ∅ が上に有界ならば S は必ず上限をもつ。