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微分積分学概論AI要約 No.1

本講義の目的 : \fbox{極限と連続性の詳論}

高校までの数学が「料理を味わう勉強」とするなら、 この講義での数学は「料理を作る勉強」である。 とは言っても、「野菜を畑で作る」 ところから始めると大変なので、ある程度は出来合いのものをもちいる。 他方で、「レトルトを温めておしまい」では料理とはよべない。 おなじように、高校で習った「中間値の定理」などの定理を ここで手ばなしで使ってはいけない。 指数関数、対数関数、三角関数等もアウトである。 ではどこまで用いいて良いかといえば次のようになる。

\fbox{
\begin{minipage}{10cm}
\noindent ◎この講義で用いて良いもの(材料):
\par
...
...、収束、連続の諸概念。中間値の定理などの連続関数に関する諸定理。
\end{minipage}}

定義 1.1   以下この講義では次のような記号を用いる。
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ : 整数全体のなす集合。

  2. $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ : 有理数全体のなす集合。

  3. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ : 実数全体のなす集合。

  4. $ {\mathbb{C}}$ : 複素数全体のなす集合。

◎集合と、その元との区別が大事。 「実数の集合を一つ考える。」というのと、「実数を一つ考える。」というのを よく意識して区別すること。

定理 1.2   次の不等式が成り立つ。
  1. $ x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、 % latex2html id marker 1072
$ -\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert $ .
  2. (三角不等式) $ x,y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、 % latex2html id marker 1077
$ \vert x+y\vert \leq \vert x\vert+\vert y\vert.
$

定義 1.3   実数 $ a,b$ について、閉区間 $ [a,b]$ と開区間 $ (a,b)$ を つぎの式で定める。

$\displaystyle [a,b]$ $\displaystyle =\{x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1092
$\displaystyle \vert a\leq x \leq b\}$    
$\displaystyle (a,b)$ $\displaystyle =\{x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle \vert a < x < b\}$    

\fbox{実数の集合の例、上限、上界}

$ [a,b]$ には端点があって、そこでのようすは $ [a,b]$ のほかの点の ようすと大きく異っている。それに対して、$ (a,b)$ の各点はどの点も似ている。

$ [a,b]$ には最大元があるが、$ (a,b)$ にはない。 次の定義を見よ。

定義 1.4   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $ A$ が与えられているとする。 このとき
  1. $ a\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ A$上界 (upper bound)であるとは、

    % latex2html id marker 1123
$\displaystyle \forall x\in A (x\leq a)
$

    (つまり、どの $ x\in A$ をもってきても % latex2html id marker 1127
$ x\leq a$ ) が成り立つときに言う。
  2. $ a\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ A$上限(supremum)であるとは、 $ A$ の上界のうち最小のものをいう。

◎ 集合の上界は存在するとは限らない。 また、上界が存在したとすると、それはいくつもある。

例 1.5  

$\displaystyle T=\{$土佐電鉄(*)の運賃$\displaystyle \}=\{120,200,220,300,400,460\}
$

とおく((*)2014/4/1現在)。このとき、
  1. $ T$ の上界としては、$ 1000$ がある。これは 「土佐電鉄に乗るときは1000円あればひとり分のお金は足りる」ことを 意味している。
  2. $ T$ の上界としては、他にも 500, 一万、十万、$ 951.777..$ 等がある。
  3. $ T$ の上限は $ 500$ である。

旅行に行くとき、かかる旅費をキッチリ計算して、その分のお金しか 持って行かない人は少なかろう。「大体△万円あれば十分」とか 見積もる。これが上界の考え方。

例 1.6 (最大値を持たないが上限を持つ集合たち)  
  1. $ \{\frac{n-1}{n}; n=1,2,3,\dots\}$ は上限 $ 1$ をもつ。
  2. $ \{x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ; x<2\}$ は上限 $ 2$ を持つ。
  3. $ \{x\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ; x^2<2\}$ は上限 % latex2html id marker 1175
$ \sqrt{2}$ を持つ。

定義 1.7   集合 $ A\subset$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$上に有界であるとは、 $ A$ が上界を少なくとも一つもつときに言う。

例題 1.8   $ f(x)=x^4-6 x^3 +11 x^2 -6 x $ とおく。このとき

$\displaystyle S=\{ x\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ; f(x) <0\}
$

は上界をもつだろうか、

(解答) $ f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ と因数分解できるので、

$\displaystyle S=(0,1) \cup (2,3)
$

であることがわかる。 したがって、 $ S$ は上界 $ 10$ をもち、上に有界である。

上界は一つ挙げれば十分である。上の例題なら $ 3$ (上限) でも良いし、 $ 100$ でもよい。$ f$ が因数分解できない場合も、 つぎのような別解ならうまくいく。

(別解) まず、$ M=100$ とおくと、$ S$ の元 $ s$% latex2html id marker 1218
$ s\leq M$ を満たす。 なぜなら、もし $ s>M$ なる $ s\in S$ が存在したとすると、

$\displaystyle f(s)$ $\displaystyle =$   $\displaystyle s^4-6 s^3$ $\displaystyle +11$ $\displaystyle s^2 -$   $\displaystyle 6$   $\displaystyle s$    
  $\displaystyle >$ $\displaystyle 100$ $\displaystyle s^3 -6 s^3$ $\displaystyle + 11 \cdot$ $\displaystyle 0 -$   $\displaystyle 6$ $\displaystyle \cdot$ $\displaystyle s^3 = 88 s^3 >0$    

となって、これは $ s\in S$ に反するからである。 ($ s>1$ のとき $ s<s^2<s^3<\dots $ に注意。 負の項は多めに見積もり、正の項は控えめに見積もる。) したがって、 $ M$$ S$ の上界の一つである。

問題 1.1   次の各問に答えなさい。
  1. % latex2html id marker 1254
$ \{\vert x^3 -10 x^2 +100x -1000\vert \quad ; \quad x \in [0,1]\}$ の上界を一つ挙げ、 その理由を述べなさい。

  2. $\displaystyle S=\{ x\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ; 5x^4-4 x^3+3 x^2+4 x -5<0\}
$

    は上界をもつだろうか、 もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、 もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。

次のことは、実数の極限を考える上で基本的である。

公理 1.9   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 % latex2html id marker 1267
$ S\neq \emptyset$ が上に有界ならば $ S$ は必ず上限をもつ。


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2015-04-13