微分積分学概論 AI 要約 NO.2

第 2 回目の主題 : 実数の公理・数列の収束の定義

「∀x....」は、「どんな x に対しても、 .... がなりたつ」という意味、「∃x....」は、「なにかある一つの x に対しては、 .... がなりたつ」という意味で

用いる。

以下では実数 ℝ は次の性質を持つことを認めることにする。

公理 2.1. ℝ の上に有界な部分集合は必ず上限を持つ。

実数の諸性質は、上の公理と四則演算、大小関係の公理に基づきすべて証明される。例えば、つぎのことが証明できる。

命題 2.2 (アルキメデスの原理). ℕ は上に有界ではない。

命題 2.3 (有理数の稠密性). 任意の異なる 2 つの実数の間には有理数が存在する。

正の整数の全体のことをこの講義では ℤ_{>0} と書く。数列とは、数学的には次のように定義できる。

定義 2.4. 実数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} とは、 ℤ_{>0} から ℝ への写像 n ↦ a_{n} (すなわち、正の整数 n に実数 a_{n} を対応させる対応) のことである。

定義 2.5. 実数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が実数 c に収束するとは、

∀ϵ > 0∃N such that (∀n > N |a_{n} − a| < ϵ)

がなりたつときに言う。

この定義が使いこなせるようになれば、この講義の目標の 80% は達せられたと言って良い。

例題 2.6. 数列 {a_{n}} を

a_{n} = \begin{cases}1 & n が 10 の倍数のとき \\ 0 & その他のとき \end{cases}

で定義するとき、 {a_{n}} は何かある値に収束するだろうか。定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

解答 . \underline{\{a_{n}\} はどの値にも収束しない。} (証明) 背理法で、 {a_{n}} がある数 c に収束したとする。収束の定義の ϵ として\frac{1}{2} を採用しよう。ある N_{0} が存在して、

(※)  n > N_{0}ならばいつでも|a_{n} − c| < \frac{1}{2}

が成り立つはずである。そこで (sample i) 上の n として N_{0} より大なる 10 の倍数、たとえば、 n = 10N_{0}

をとると、

|1 − c| < \frac{1}{2}

がわかり、

(sample ii) 上の n として N_{0} より大なる数で、 10 の倍数でないもの、たとえば、 n = 10N_{0} + 1 をとると、

|0 − c| < \frac{1}{2}

がわかる。上の (sample i,ii) をあわせると、

1 = |1 − 0| ≤ |1 − c| + |c − 0| < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

となって矛盾である。よって、 {a_{n}} はいかなる値にも収束しない。

例題 2.7. 数列 {a_{n}} を

a_{n} = \begin{cases}1/n & n が 10 の倍数のとき \\ 0 & その他のとき \end{cases}

で定義するとき、 a_{n} は何かある値に収束するだろうか。定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

解答 . \underline{\{a_{n}\} は 0 に収束する}

(証明) 与えられた ϵ ∈ ℝ_{>0} にたいして、 N_{0} として、 1/ϵ より大きい整

数を一つとっておく。 (そのようなもの (すなわち与えられた実数よりも大きな整数) が存在することは、「アルキメデスの原理」として保証されているが、マアさしあたっては当り前だと思っても良い。 )

この N_{0} が収束の定義の N の役割を果たすことを示そう。実際、 n > N_{0} なる任意の n にたいして、 (case i) n が 10 の倍数なら、

|a_{n} − 0| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N_{0}} < ϵ

(case ii) n が 10 の倍数でないなら、

|a_{n} − 0| = 0 < ϵ

となって、いずれの場合にせよ |a_{n} − 0| < ϵ が成り立つからである。

問題 2.1. 数列 {a_{n}} を

a_{n} = (−1)^{n} \frac{1}{n^{2}}

で定義するとき、 {a_{n}} は何かある値に収束するだろうか。定義に基づいて理由を述べて答えなさい。