微分積分学概論 AI 要約 NO.11

連続関数の性質

定理 11.1. (中間値の定理) (再) 関数 f が閉区間 [a, b] で連続 (すなわち、 [a, b] の各点で連続) とする。このとき f(a) と f(b) の中間の値 γ にたいして、 f(c) = γ をみたすような c ∈ [a, b] が存在する。

定理 11.2 (最大値の定理). 有界閉区間 [a, b] 上の連続関数は必ず最大値を持つ。

この定理は位相空間論においては「コンパクト集合の像はコンパクトである」という定理 (あるいはその系の「コンパクト集合上の連続関数は最大値を持つ」という定理) に一般化される。

問題 11.1. 閉区間 [0, 1] 上で定義された実数値連続関数 f(x) が、任意の x ∈ [0, 1] において f(x) ≠ 0 を満たしたとする。このとき、ある ϵ_{0} > 0 が存在して、

∀x ∈ [0, 1] にたいして|f(x)| > ϵ_{0}

を満たすことを証明しなさい。