代数学 IA NO.1 要約

一学期の目標

群の準同型定理を理解する。

今日のテーマ代数系, 特に, 群。代数系とは、集合の上に演算を載せたものである。載せる演算の種類によっていろいろなものができる。

\begin{matrix}演算 & 演算の記号 & 代数系 \\ 和, 差 & +, − & 加群 \\ 積 & × & 半群 \\ 積, 商 & ×, •^{−1} & 群 \\ 和, 差, 積 & +, −, × & 環 \\ 和, 差, 積,0 以外での商 & +, −, ×, •^{−1} & 体 \end{matrix}

定義 1.1 (群の定義). 集合 G が群であるとは、

(群 0) 「演算」と呼ばれる写像 G × G ∋ (x, y) ↦ x ∘ y ∈ G が定義されていて、

次の条件を満たすときに言う。 (群 1) その演算は結合法則を満たす。

(x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z) (∀x, y, z ∈ G)

(群 2) G には単位元 (普通 e と書かれる) が存在する。すなわち、ある G の元 e があって、

e ∘ x = x, x ∘ e = x (∀x ∈ G)

がなり立つ。 (群 3) G の各元には逆元がある。すなわち、 G の任意の元 x に対し

て、 G のある元 y が存在して、

x ∘ y = e, y ∘ x = e

がなりたつ。

群の定義において、集合 G を決めただけではどんな演算を考えているのか明確でないので、正確には、組 (G, ∘) を群と呼ぶ。

例 1.2. 次の G はそれぞれ通常の乗法を演算とする群である。 (1) G = ℚ \ {0}. (これを ℚ の乗法群 (ℚ^{×}, ×) と呼ぶ。 )

(2) G = GL_{n}(ℝ)

例 1.3. 次の (G, ∘) はそれぞれ乗法を演算とする群\underline{でない}。 (1) G = ℤ, x ∘ y = xy.

(2) G = ℚ, x ∘ y = xy.

定義 1.4. 演算が可換で、かつ + 記号で書かれるような群のことを加法群と呼ぶ。加法群は加群とも呼ばれる。

例 1.5. ℤ, ℚ ℝ 等はそれぞれ (通常の加法に関して) 加法群である。 2ℤ も加法群である。

加法群も群の一種に過ぎないことに注意。 ℤ の加法群のことを (ℤ, +) と書く。

例 1.6. {−1, 0, 1} は (通常の加法に関して) 群ではない。

代数学 IA NO.1 要約

問題 (I) ℤ \ {−100} は加法に関して群をなすだろうか、理由を挙げて述

べなさい。 (II) ℤ に、演算 ∘ を

x ∘ y = x + y + 3

で定義する。このとき、 (ℤ, ∘) は群であるか、理由をつけて答えなさい。

● http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi にこのプリントを提供する.