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代数学 IA No.1要約

一学期の目標

\boxed{\text{群の準同型定理を理解する。}} \fbox{今日のテーマ} 代数系, 特に, 群。

代数系とは、集合の上に演算を載せたものである。

載せる演算の種類によっていろいろなものができる。

演算 演算の記号 代数系
和, 差 $ +,-$ 加群
$ \times$
積,商 $ \times, \bullet^{-1}$ 半群
和,差,積 $ +,-,\times$
和,差,積,0 以外での商 $ +,-,\times, \bullet ^{-1}$

定義 1.1 (群の定義)   集合 $ G$ が群であるとは、

(群0)「演算」と呼ばれる写像 $ G\times G\ni(x,y) \mapsto x \circ y\in G$ が定義されていて、

次の条件を満たすときに言う。

(群1).
その演算は結合法則を満たす。

% latex2html id marker 927
$\displaystyle (x\circ y) \circ z =x \circ (y\circ z) \quad (\forall x,y,z \in G)
$

(群2).
$ G$ には単位元(普通 $ e$ と書かれる)が存在する。すなわち、 ある $ G$ の元 $ e$ があって、

% latex2html id marker 937
$\displaystyle e \circ x=x, \quad x \circ e=x \quad (\forall x \in G)
$

がなり立つ。
(群3).
$ G$ の各元には逆元がある。すなわち、$ G$ の任意の元 $ x$ に対して、 $ G$ のある元 $ y$ が存在して、

% latex2html id marker 949
$\displaystyle x \circ y=e,\quad y \circ x=e
$

がなりたつ。

群の定義において、集合 $ G$ を決めただけではどんな演算を考えているのか 明確でないので、正確には、組 $ (G,\circ)$ を群と呼ぶ。

例 1.1   次の $ G$ はそれぞれ通常の乗法を演算とする群である。
  1. $ G=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ \setminus \{0\}$ . (これを $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の 乗法群 $ ($$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ^{\times} ,\times)$ と呼ぶ。)
  2. $ G={\operatorname{GL}}_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$

例 1.2   次の $ (G,\circ)$ はそれぞれ乗法を演算とする群でない
  1. $ G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ x\circ y=xy$ .
  2. $ G=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $ x\circ y=xy$ .

定義 1.2   演算が可換で、かつ $ +$ 記号で書かれるような群のことを加法群 と呼ぶ。加法群は加群とも呼ばれる。

例 1.3   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ 等はそれぞれ(通常の加法に関して)加法群である。 $ 2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ も加法群である。

加法群も群の一種に過ぎないことに注意。 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の加法群のことを $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ と書く。

例 1.4   $ \{-1,0,1\}$ は(通常の加法に関して)群ではない。

問題

(I).
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\setminus \{-100\}$ は加法に関して群をなすだろうか、 理由を挙げて述べなさい。
(II).
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に、演算 $ \circ $

$\displaystyle x \circ y=x+y+3
$

で定義する。このとき、 $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\circ )$ は群であるか、理由をつけて答えなさい。

http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi にこのプリント を提供する.


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2015-04-09