代数学 IA NO.3 要約

今日のテーマ《生成される (部分) 群》

群 G と、その部分集合 M とが与えられているとする。このとき、

• \underline{M で生成される G の部分群とは、 M を含む最小の部分群のことである。}

• 特に、 G 自身が M で生成される G の部分群であるとき、単に、 G は M で生成される。という。

《生成される部分群》の正確な定義は次のようになる。

定義 3.1 ( 《生成される部分群》の定義). 群 G とその部分集合 M とが与えられているとする。 G の部分群 H が M で生成される G の部分群であるとは、次の条件を満たすときに言う。 (生成 1) H は M を部分集合として含む G の部分群である。 (生成 2) H は上の条件 (生成 1) を満たすもののうち最小のものである。

すなわち、次のことが成り立つ。

⟨⟨K が、 M を部分集合として含む G の部分集合であれば、 H は K の部分群になる。 ⟩⟩

M で生成される G の部分群を ⟨M⟩ と書く。

例 3.2. ℂ^{×} の部分群として、次のことが成り立つ。 (1) ⟨−1⟩ = {1, −1}.

(2) ⟨\sqrt{−1}⟩ = \{1, −1, \sqrt{−1}, −\sqrt{−1}\}.

(3) ⟨ω⟩ = \{1, ω, ω^{2}\}. ただし、 ω = \frac{−1 + \sqrt{−3}}{2}.

(4) ⟨2⟩ = {2^{n}; n ∈ ℤ}.

(5) ⟨2, 3⟩ = {2^{n}3^{m}; n, m ∈ ℤ}.

命題 3.3. 整数 m に対して、 m で生成される (ℤ, +) の部分群は mℤ に一致する。

命題 3.4. (ℤ, +) の部分群 H で、 0 でないものをとってきたとする。すると、

(1) H の元で、正で、最小のものが存在する。 (それを n_{0} とおこう。 )

(2) H は n_{0} で生成される。

定理 3.5. {0} 以外の (ℤ, +) の部分群は nℤ (n は正の整数) の形のものに限る。 (逆に、もちろん、 nℤ は ℤ の部分群である。 )

命題 3.6. 群 G の元 g に対して、 g で生成される G の部分群は

⟨g⟩ = {g^{n}; n ∈ ℤ}

に一致する。これはもう少し詳しく見ると次の２つの場合がある。 (1) g^{n} (n ∈ ℤ) はすべて相異なる。

(2) ある正の整数 k があって、 g^{k} = e が成り立つ。そのようなもののうち、最小のものを g の位数と呼ぶ。

(1) の場合には、 g の位数は無限であるという。

命題 3.7. 群 G の元 g の位数 k が有限なら、整数 l が g^{l} = e を満たすのは、 l ∈ kℤ のときで、その時に限る。