代数学 IA NO.4 要約

今日のテーマ《ℂ^{×} の有限部分群》

命題 4.1. 正の整数 n を一つ固定し、 ζ_{n} = exp(\frac{2π\sqrt{−1}}{n}) とおく。すると、 (1) ζ_{n} の (乗法群 ℂ^{×} の元としての) 位数は n である。

(2) ζ_{n} の生成する ℂ^{×} の部分群は

⟨ζ_{n}⟩ = {ζ_{n}^{k}; k = 0, 1, 2, …, n − 1}

である。この群を μ_{n}(ℂ) と書く。

(3) ζ_{n}^{k} = ζ_{n}^{l} ⇔ k − l ∈ nℤ.

注意 4.2. 幾何学的には、次のような意味がある。

(1) μ_{n}(ℂ) の元を複素平面上にプロットするとちょうど正 n 角形の頂点に並ぶ。

(2) μ_{n}(ℂ) は ℂ や ℂ^{×} の「回転」を表す群である。

一般にべき乗して 1 と等しくなるような元を、「1 のべき根」とよぶ。言い換えれば、 1 のべき根とは、 ∪_{n=1}^{∞}μ_{n}(ℂ) の元のことである。

定義 4.3. 元の数が有限であるような群を、有限群と言う。有限群 G の元の個数を、 G の位数と言い、 |G| とか ord(G) で表す。

定義 4.4. 位数 n の巡回群は、本質的にはひとつしかない。この群を C_{n} と書く。

C_{n} は群としては μ_{n}(ℂ) と同じものであるが、 μ_{n}(ℂ) は ℂ の部分集合であるのに対して。 C_{n} はそうだとは考えていない、ただの抽象的な群であるというところが異なる。

C_{n} を書き表し方はいろいろあるのだが、ここでは、「生成元と関係式」を書く次の表記を採用する。

C_{n} = ⟨a; a^{n} = e⟩.

群の元 x の位数とは、 x^{k} = e を満たす正の整数 k のうち最小のものであったことを思い出そう。元の位数と群の位数とには明快な関係がある。詳しくは次回。

例題 4.5. 位数 12 の巡回群 C_{12} = ⟨a; a^{12} = e⟩ の元をすべて書き、その位数を表にせよ。

答:

\begin{matrix}元 & e & a & a^{2} & a^{3} & a^{4} & a^{5} & a^{6} & a^{7} & a^{8} & a^{9} & a^{10} & a^{11} \\ 位数 & 1 & 12 & 6 & 4 & 3 & 12 & 2 & 12 & 3 & 4 & 6 & 12 \end{matrix}