代数学 IA NO.6 要約

今日のテーマ《有限群の部分群 (オイラー・ラグランジュの定理)》

命題 6.1. μ_{n}(ℂ) の部分群 H の元の個数は必ず n の約数である。

状況を観察するために、次の例を考えよう。

例 6.2. G = μ_{12}(ℂ) とその部分群 H = μ_{4} を考える。 (1) H を「ずらしたもの」 H, Hζ, Hζ^{2} が綺麗に並んでいる。

(2) G は H を「ずらしたもの」 H, Hζ, Hζ^{2} ３つの和集合として書ける。

(3) G の「ずらしたもの」 (G の元をかけて作ったもの) はこれらしかなく、また、それらは互いに交わらない (か、完全に一致するかのどちらかである)。

(4) H, Hζ, Hζ^{2} はどれも元の数が 4 つである。

(5) |G| = |H| × 3.

一般の群についても同じようなことが言える:

定理 6.3 (オイラー・ラグランジュ). 有限群 G の部分群 H が与えられたとする。このとき、

(1) G は Ha の形の部分集合の互いに交わらない和集合である。

G = Ha_{1} ∐ Ha_{2} ∐ ⋯ ∐ Ha_{t} (∃a_{1}, a_{2}, …, a_{t} ∈ G)

(2) 各「クラス」 Ha の元の数は H の元の数と等しい。

(3) 異なる「クラス」 Ha の数 (上の t のこと) を [G : H] と書くこ

とにすると、

|G| = |H|[G : H]

が成り立つ。

系 6.4. 有限群 G の各元 g にたいして、 (1) g の位数 ord(g) は有限である。

(2) g で生成される G の部分群 ⟨g⟩ の (群としての) 位数は ord(g) と等しい

(3) ord(g) は |G| の約数である。 (オイラーの定理)