代数学 IA NO.8 要約

今日のテーマ《二面体群・正規部分群》

ζ_{n} = exp(\frac{2π\sqrt{−1}}{n}) とおく。複素平面からそれ自身への全単射のうち、

(1) 「ζ_{n} 倍する写像」を a とおく。すなわち、

a(z) = ζ_{n}z.

(2) 「複素共役を取るという写像」を b とおく。すなわち、

b(z) = z̄.

(3) a, b で生成される群を二面体群といい、 𝔻_{n} と書く。 𝔻_{n} を書き表すにはいくつか方法がある。

◎生成元と関係式による表示。

命題 8.1. 二面体群 𝔻_{n} と、上のように決まった a, b について、 (1) a^{n} = e (単位元 (ℂ の恒等写像)).

(2) b^{2} = e.

(3) bab^{−1} = a^{−1}.

(4) 𝔻_{n} の元は a^{i}b^{j} (i ∈ {0, 1, 2, …, n − 1}, j ∈ {0, 1}) と一意に書ける。特に、 𝔻_{n} の位数は 2n である。

𝔻_{n} の群演算を書き下すには、 a^{n} = e, b^{2} = e, bab^{−1} = a^{−1} があれば良いということが分かる。そのいみで、

𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, bab^{−1} = a^{−1}⟩

と書く。 ◎置換としての表現

a ↔ (1 2 3 ... n)

b ↔ (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & … & n − 1 & n \\ n − 1 & n − 2 & n − 3 & n − 4 & … & 2 & 1 \end{matrix})

という対応により 𝔻_{n} は 𝔖_{n} の部分群とみなすことができる。 ◎実行列としての表示。 a, b はともに ℂ から ℂ への実線形写像であることに着目する。

a ↔ (\begin{matrix}cos(θ_{n}) & − sin(θ_{n}) \\ sin(θ_{n}) & cos(θ_{n}) \end{matrix}) , b ↔ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

(但し θ_{n} = \frac{2π}{n})

𝔻_{n} は非可換な群である。一般に、非可換の群をその部分群で割る (クラス分けする) 際には左、右の別が必要である。

定義 8.2. 群 G の部分群 H が与えられているとする。このとき、 x, y ∈ G が H を法として左同値であるとは、

∃h ∈ H hx = g

のときにいう。これは同値関係を定義する。その同値類の集合を H\G と書く。

同様に、右同値、 G/H が定義される。

H\G は集合の差の記号 H \ G とよく似ているが、後者は空集合であるからまず使わない。すなわちちょっと考えれば区別がつく。

例 8.3. 𝔻_{n} の部分群として H = ⟨a⟩ を考える。左クラス分けは

𝔻_{n} = H ∐ Hb

右クラス分けは

𝔻_{n} = H ∐ bH

であり、２つのクラス分けは (実は) 一致する。

例 8.4. 𝔻_{n} の部分群として K = ⟨b⟩ を考える。左クラス分けは

𝔻_{n} = K ∐ Ka ∐ Ka^{2} ∐ ⋯ ∐ Ka^{n−1}

右クラス分けは

𝔻_{n} = K ∐ aK ∐ a^{2}K ∐ ⋯ ∐ a^{n−1}K

であるが、 2 つのクラス分けは一致しない。

定義 8.5. 群 G の部分群 H は、それによる左同値類と右同値類とが一致する場合に正規部分群であると呼ばれる。

命題 8.6. G の部分群 H が、 [G : H] = 2 をみたすなら、 H は G の正規部分群である。

命題 8.7. 群 G の部分群 H について、次の条件は同値である。 (1) H は G の正規部分群である。

(2) ∀h ∈ H, ∀g ∈ G に対して、 ghg^{−1} ⊂ H. すわなち ∀g ∈ G に対して gHg^{−1} ⊂ H.

(3) ∀g ∈ G にたいして gH = Hg.

群 G の剰余類によるクラス分けは、もっと具体的な (例えば、幾何学的な) 意味をもつくことが多い。例えば 𝔻_{n} の例で、

• H = ⟨a⟩ によるクラス分けは、「複素平面を裏返すか表のままか」をあらわす。

• K = ⟨b⟩ による右クラス分けは、 (ℂ のそれ自身への変換と考えた時、「1 ∈ ℂ をどの点に写すか」での分類である。

• K による左クラス分けは、「どの元が 1 ∈ ℂ に写るか」での分類である。