1=8

代数学 IA No.8要約

《二面体群・正規部分群》

$\zeta_n=\exp(\dfrac{2\pi\sqrt{-1}}{n})$ とおく。 複素平面からそれ自身への全単射のうち、

1. 「$\zeta_n$ 倍する写像」を $a$ とおく。 すなわち、
   $$a(z)=\zeta_n z.$$

2. 「複素共役を取るという写像」を $b$ とおく。 すなわち、
   $$b(z)=\bar z.$$

3. $a,b$ で生成される群を二面体群といい、 $\mathbb{D}_n$ と書く。

$\mathbb{D}_n$ を書き表すにはいくつか方法がある。

◎ 生成元と関係式による表示。

命題 8.1   二面体群 $\mathbb{D}_n$ と、上のように決まった $a$ , $b$ について、

1. $a^n=e$ (単位元( ${\mathbb{C}}$ の恒等写像)).
2. $b^2=e$ .
3. $b a b^{-1}=a^{-1}$ .
4. $\mathbb{D}_n$ の元は $a^i b^j$ $(i\in\{0,1,2,\dots,n-1\},\ j\in \{0,1\})$ と一意に書ける。特に、 $\mathbb{D}_n$ の位数は $2n$ である。

$\mathbb{D}_n$ の群演算を書き下すには、 $a^n=e, b^2=e, b a b^{-1}=a^{-1}$ があれば良いということが分かる。そのいみで、

$$\mathbb{D}_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, b a b^{-1}=a^{-1} \rangle$$

と書く。

◎ 置換としての表現

$$a \leftrightarrow (1 \ 2 \ 3 \ ... \ n)$$

$$b \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1&2&3&4& \dots & n-1 &n \\ n-1& n-2& n-3&n-4&\dots & 2 &1 \end{pmatrix}$$

という対応により $\mathbb{D}_n$ は $\mathfrak{S}_n$ の部分群とみなすことができる。

◎ 実行列としての表示。 $a,b$ はともに ${\mathbb{C}}$ から ${\mathbb{C}}$ への実線形写像であることに着目する。

$$a \leftrightarrow \begin{pmatrix} \c... ...matrix},\qquad b \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

(但し $\theta_n=\dfrac{2 \pi}{n}$ )

$\mathbb{D}_n$ は非可換な群である。一般に、非可換の群をその部分群で 割る(クラス分けする)際には左、右の別が必要である。

定義 8.2   群 $G$ の部分群 $H$ が与えられているとする。このとき、$x,y\in G$ が $H$ を法として左同値であるとは、

$$\exists h \in H \quad h x=g$$

のときにいう。これは同値関係を定義する。その同値類の集合を $H\backslash G$ と書く。

同様に、右同値、$G/H$ が定義される。

$H\backslash G$ は集合の差の記号 $H\setminus G$ とよく似ているが、 後者は空集合であるからまず使わない。すなわちちょっと考えれば区別がつく。

例 8.3   $\mathbb{D}_n$ の部分群として $H=\langle a \rangle$ を考える。 左クラス分けは

$$\mathbb{D}_n=H \coprod H b$$

右クラス分けは

$$\mathbb{D}_n = H \coprod b H$$

であり、２つのクラス分けは(実は)一致する。

例 8.4   $\mathbb{D}_n$ の部分群として $K=\langle b \rangle$ を考える。 左クラス分けは

$$\mathbb{D}_n=K \coprod K a \coprod K a^2 \coprod \dots \coprod K a^{n-1}$$

右クラス分けは

$$\mathbb{D}_n=K \coprod a K \coprod a^2 K \coprod \dots \coprod a^{n-1} K$$

であるが、2つのクラス分けは一致しない。

定義 8.5   群 $G$ の部分群 $H$ は、それによる左同値類と右同値類とが一致する場合に 正規部分群 であると呼ばれる。

命題 8.6   $G$ の部分群 $H$ が、$[G:H]=2$ をみたすなら、$H$ は $G$ の正規部分群である。

命題 8.7   群 $G$ の部分群 $H$ について、次の条件は同値である。

1. $H$ は $G$ の正規部分群である。
2. $\forall h \in H ,\forall g\in G$ に対して、 $ghg^{-1} \subset H$ . すわなち $\forall g\in G$ に対して $gH g^{-1} \subset H$ .
3. $\forall g\in G$ にたいして $g H = H g$ .

群 $G$ の剰余類によるクラス分けは、もっと具体的な(例えば、幾何学的な) 意味をもつくことが多い。例えば $\mathbb{D}_n$ の 例で、

• $H=\langle a \rangle$ によるクラス分けは、 「複素平面を裏返すか表のままか」をあらわす。
• $K=\langle b \rangle$ による右クラス分けは、( ${\mathbb{C}}$ のそれ自身への変換と考えた時、 「 $1\in {\mathbb{C}}$ をどの点に写すか」での分類である。
• $K$ による左クラス分けは、 「どの元が $1\in {\mathbb{C}}$ に写るか」での分類である。