代数学 IA No.9要約

定理 9.1

を群、

をその部分群とする。

に次のような乗法を定めて群にしてやりたい。

$\displaystyle \overline{a} \overline{b} =\overline{ab}$

これが、代表元の取りかたによらずにうまくいって、

が実際に群になるためには、

が正規部分群である事が必要十分である。

実際には、「必要十分」のうち、「十分」のほうがよく用いられる。すなわち、

定義 9.4

を群とする。

から

への写像 $f:G\to H$ が群準同型 であるとは、任意の $g_1,g_2\in G$ に対して、

$\displaystyle f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)$

が成り立つときに言う。準同型

が全単射でもある時、

を同型と言う。

例 9.5 準同型の例

任意の群に対して、の上の恒等写像 ${\operatorname{id}}:G\to G$ はからへの準同型である。これは全単射であるから、同型である。
を正の整数とする。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像を、

$\displaystyle f(k)=nk$

により定めると、は準同型である。これも同型である。
を正の整数とする。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像を、

$\displaystyle f(k)=nk$

で定めると、は準同型である。これはなら同型ではない。
を正の整数とする。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ を、

$\displaystyle f(k)=a^k$

で定めると、は準同型である。これは同型ではない。
$({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ から $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $^\times,\times))$ への写像を

$% latex2html id marker 1100 $\displaystyle f(k)=2^k \qquad(k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) $$

で定義すると、は準同型である。これは同型ではない。

これまで、群には演算、というデータのほかに、単位元、逆元の存在が基本的であると言ってきた。これらは準同型で自動的に保存される。次の定理でそのことを示そう。

定理 9.7

を群とする。

から

への準同型写像 $f:G\to H$ に対して、次の事が成り立つ。

は単位元を単位元にうつす。すなわち、

$% latex2html id marker 1136 $\displaystyle f(e_G)=e_H. \quad ($$ $e_G,e_H$ はそれぞれ $G.H$ の単位元 $\displaystyle )$
は逆元を逆元にうつす。すなわち、任意のの元に対して、

$\displaystyle f(g^{-1})=f(g)^{-1}$

が成り立つ。
任意の整数と任意のの元に対して、

$\displaystyle f(g^n)=f(g)^n$

が成り立つ。

定義 9.8 $f:G\to H$ を二つの群の間の準同型とする。

の核 (kernel) とは、

の単位元

の

の逆像の事である。すなわち、

$\displaystyle \operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(e_H)=\{g\in G; f(g)=e_H\}$

準同型を調べよ、と言われたらとりあえずその核を調べる。核は次のような性質と役割をもつ。