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1=9

代数学 IA No.9要約

\fbox{今日のテーマ} 《正規部分群・剰余群・準同型》

定理 9.1   $ G$ を群、$ H$ をその部分群とする。$ G/H$ に次のような乗法を定めて群にしてやりたい 。

$\displaystyle \overline{a} \overline{b} =\overline{ab}
$

これが、代表元の取りかたによらずにうまくいって、$ G/H$ が実際に群にな るためには、$ H$ が正規部分群である事が必要十分である。

実際には、「必要十分」のうち、「十分」のほうがよく用いられる。すなわち、

定理 9.2   $ G$ を群、$ N$ をその正規部分群とする。$ G/N$ は上の定理の乗法により 群の構造をもつ。

定義 9.3   上の定理で得られる群 $ G/N$ を、$ G$$ N$ による剰余群(もしくは商群) とよぶ。

定義 9.4   $ G,H$ を群とする。$ G$ から $ H$ への写像 $ f:G\to H$群準同型 であるとは、 任意の $ g_1,g_2\in G$ に対して、

$\displaystyle f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)
$

が成り立つときに言う。 準同型 $ f$ が全単射でもある時、$ f$ を同型と言う。

例 9.5   準同型の例
  1. 任意の群 $ G$ に対して、$ G$ の上の恒等写像 $ {\operatorname{id}}:G\to G$$ G$ から $ G$ への準同型である。これは全単射であるから、同型である。
  2. $ n$ を正の整数とする。 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、

    $\displaystyle f(k)=nk
$

    により定めると、$ f$ は準同型である。これも同型である。
  3. $ n$ を正の整数とする。 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、

    $\displaystyle f(k)=nk
$

    で定めると、$ f$ は準同型である。これは $ n>1$ なら同型ではない。
  4. $ n$ を正の整数とする。 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ C_n=\langle a; a^n=e \rangle $ を、

    $\displaystyle f(k)=a^k
$

    で定めると、$ f$ は準同型である。これは同型ではない。
  5. $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ から $ ($$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ^\times,\times))$ への写像 $ f$

    % latex2html id marker 1100
$\displaystyle f(k)=2^k \qquad(k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})
$

    で定義すると、$ f$ は準同型である。これは同型ではない。

例 9.6 (準同型でない例)  
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ n\mapsto n^2$ は準同型ではない。
  2. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ n\mapsto n+1$ も準同型ではない。

これまで、群には演算、というデータのほかに、単位元、逆元の存在が基本的である と言ってきた。これらは準同型で自動的に保存される。次の定理でそのことを示そう。

定理 9.7   $ G,H$ を群とする。$ G$ から $ H$ への準同型写像 $ f:G\to H$ に対して、次の事が 成り立つ。
  1. $ f$ は単位元を単位元にうつす。すなわち、

    % latex2html id marker 1136
$\displaystyle f(e_G)=e_H. \quad ($$e_G,e_H$ はそれぞれ $G.H$ の単位元$\displaystyle )
$

  2. $ f$ は逆元を逆元にうつす。すなわち、任意の $ G$ の元 $ g$ に対して、

    $\displaystyle f(g^{-1})=f(g)^{-1}
$

    が成り立つ。
  3. 任意の整数 $ n$ と任意の $ G$ の元 $ g$ に対して、

    $\displaystyle f(g^n)=f(g)^n
$

    が成り立つ。

$ \bullet$ 準同型の核

定義 9.8   $ f:G\to H$ を二つの群の間の準同型とする。$ f$ の核 (kernel) とは、$ H$ の単位元 $ e_H$$ f$ の逆像の事である。すなわち、

$\displaystyle \operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(e_H)=\{g\in G; f(g)=e_H\}
$

準同型を調べよ、と言われたらとりあえずその核を調べる。核は次のような性質と役割 をもつ。

定理 9.9   $ f:G\to H$ を二つの群の間の準同型とする。このとき、 $ f$ の核 $ \operatorname{Ker}(f)$$ G$ の正規部分群である。


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2015-06-09