代数学 IA NO.11 要約

今日のテーマ群の準同型定理

定理 11.1 (群の準同型定理). 群 G から別の群 H への準同型写像 φ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

(1) φ の像 Image φ は H の部分群である。

(2) φ の核 N = Ker φ は G の正規部分群である。

(3) 剰余群 G/N は Image φ と同型である。

証明の肝:

Step1. φ によるクラス分けは、 Ker(φ) によるクラス分けと一致する。 Step2. G/ Ker(φ) の群の構造は Image(φ) の群の構造と一致する。

例 11.2. 位数 2n の二面体群 𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ から ({±1}, ×) への写像 f を、

f(a^{k}b^{l}) = (−1)^{l} (k ∈ ℤ, l ∈ ℤ)

で定めると、これは全射準同型写像になり、 f の核は ⟨a⟩ = {a^{k}; k = 0, 1, …, n − 1} に一致する。ゆえに、 ⟨a⟩ は 𝔻_{n} の正規部分群であり、

𝔻_{n}/⟨a⟩ ≅ {±1}

が成立することがわかる。

問題

(I) (a) ℤ/15ℤ から ℤ/5ℤ への写像 f を、 f([x]_{15}) = [x]_{5} で与え

たとき、これがうまく定義されていることを示しなさい。 (b) f が群の準同型であることもを示しなさい。

(c) f の対応表を書いて f によるクラス分けが Ker(f) によるクラス分けに一致することを確かめなさい。