代数学 IA NO.14 要約

今日のテーマ群の直積 (+準同型定理の応用)

定義 14.1 (群の直積). (G_{1}, ♠) と、 (G_{2}, ♡) とが共に群であるとする。このとき、デカルト積集合

G_{1} × G_{2} = {(g_{1}, g_{2}); g_{1} ∈ G_{1}, g_{2} ∈ G_{2}}

は、次のような演算 ♢ により群になる。

(a_{1}, a_{2})♢(b_{1}, b_{2}) = (a_{1}♠b_{1}, a_{2}♡b_{2})

(G_{1} × G_{2}, ♢) を G_{1} と G_{2} の (群としての) 直積と呼ぶ。

例 14.2. (直積群の例)

(1) ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ = {(a, b)|a ∈ ℤ/3ℤ, b ∈ ℤ/4ℤ} は加法 (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) に関して群になる。

(2) ℝ^{2} = ℝ × ℝ の加法の構造は ℝ の加法群と ℝ の加法群の直積としての構造であると考えることもできる。

定理 14.3 (有限巡回群の直積分解). m, n を互いに素な正の整数とする。このとき、同型

ℤ/mnℤ ≅ ℤ/mℤ × ℤ/nℤ

が存在する。

系 14.4. m, n を互いに素な整数とすると、

am + bn = 1

となる整数 a, b が存在する。

この系自身もよく利用される。応用例として一つだけ挙げておく。

系 14.5 (系の系). m, n を互いに素な正の整数とする。このとき、 ℤ/mℤ の、 n̄ で生成される部分群は、 ℤ/mℤ 自身である。

◎群と群準同型の作り方について。

(1) (ℤ/nℤ, +) から群 H への群準同型を作るには、 H の元 h (“1 の行き先”) で、 h^{n} = e_{H} をみたすものを作ればよい。

(2) 上のことは、次のように一般化できる。正の整数 n に対して、

(a) n 個の元 x_{1}, x_{2}, …, x_{n} で生成される自由群 F_{n} = ⟨x_{1}, x_{2}, …, x_{n}⟩ が存在する。 F_{1} は (ℤ, +) と同型である。 (1 が x_{1} の役割をする。 )

(b) F_{n} から他の群への群準同型を与えることは、 x_{1}, … x_{n} の行き先を与えることと同じである。

(c) n 個の元で生成された群

G = ⟨g_{1}, g_{2}, …, g_{n}; (関係式)_{1}, … (関係式)_{m}⟩ は、 F_{n} を、 (関係式)_{1}, … (関係式)_{m} (の ”g” を ”x” で置き換えたもの) で生成された正規部分群 N で割った剰余群と同型である。

(d) G から H への群準同型は、 x_{1}, …, x_{n} の行き先 h_{1}, …, h_{n} で、 (関係式)_{1}, … (関係式)_{m} (の ”g” を ”h” で置き換えたもの) が成り立つものを与えれば良い。

問題

(I) ℤ/3ℤ × ℤ/3ℤ は巡回群ではないことを証明しなさい。