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論理と集合要約 No.2

第2回目の主題 : \fbox{集合}

◎ 論理(続き)

論理においては、命題が大事であって、それらは基本的な命題 から, and, or, not, $ \forall$ , $ \exists$ を用いて作れるのでした。 $ \forall x P(x)$ は、「どんな $ x$ にたいしても $ P(x)$ が成立する。」ということ、 $ \exists x P(x)$ は、「ある $ x$ にたいして $ P(x)$ が成立する。」 (どれかひとつの $ x$ について $ P(x)$ が成立する。) という意味でした。

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問題 2.1   「$ x> 3$ ならば $ x >2$ 」 は正しいだろうか。 (論理の講義らしくもっと精密に書くなら: $ \forall x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ (x >3 \implies x>2)$ だろうか?)

$ P$ ならば $ Q$ 」は、$ P$ が成り立つときには、$ Q$ が成り立つことを 主張している。では $ P$ が成り立たないときにはどうだろうか。 日常生活では場合に応じて次の二つの意味に用いている。

  1. $ P$ でないときは関知しない。($ P$ が真でも、偽でもどちらでもよい。)
  2. $ P$ でないときは $ Q$ でない(と言外に言っている)。
曖昧さを避けるため、数学では「ならば」($ \implies$ ) を前者の意味でのみ用いる。

$ P$ または $ Q$ 」( $ P$ or $ Q$ )についても これは $ P$$ Q$ のどちらかが正しいという主張であるが、 日常生活では場合に応じて次の二つの意味に用いている。

  1. $ P$$ Q$ の両方が正しいことも許す。
  2. $ P$$ Q$ の両方が正しいのは(言外に)許さない。
曖昧さを避けるため、数学では「または」(or)を前者の意味でのみ用いる。

極論すれば、 論理とは、ある仮定 $ P$ をおいたときに、正しい推論規則を用いて 結論 $ Q$ を導き出すことにより、 $ P \implies Q$ を証明することに他ならない。

$ P$$ Q$ の真理値がいつでも一致するとき、 $ P$$ Q$ とは 同値であるといい、 $ P{\Leftrightarrow}Q$ と書く。 これは 「( $ P \implies Q$ ) かつ ( $ Q\implies P$ )」 と同じことである。

問題 2.2   $ P{\Leftrightarrow}Q$ $ (P \implies Q)$    and $ (Q \implies P)$ の真理値が 一致することを、真理表を用いて示しなさい。

日常用いているいくつかの基本的な推論規則も、真理表を用いて直ちに 導きだすことができる。例えば次のような具合である。

問題 2.3   命題 $ P,Q$ について、 $ (P$    and $ Q) \implies P$ および $ P \implies (P$    or $ Q)$ が成立することを、真理表を用いて示しなさい。

定義 2.1   集合とは、 それに属するであるか否かがはっきり決まっているような 「モノ」のあつまりである。 (誰が見てもはっきりとどちらかに分かれていて、 しかも意見が食い違わないということが大事である。)

上の定義もまたもや多少間に合わせ的である。もっと現代的には、 いくつかの基本的な集合の存在をあらかじめ公理として定め、それらから いくつかの手続き によって作られた物のみ を集合と呼ぶ。

集合 $ M$ にたいして、$ x$$ M$ に属するとき、$ x$$ M$元(要素) であるといい、 $ x\in M$ とか、 $ M \ni x$ と 書き、そうでないとき $ x\notin M$ とか $ M \not \ni x$ と書く。

あとの、「部分集合として含まれる」との区別を強調するため、 $ x\in M$ のことを 「 $ x$$ M$ に元として含まれる。」という読み方をすることもある。

集合は、中カッコの中に集めるものを言葉で、あるいはリストアップして 書きだすことにより表現できる。下の例を見よ。

例 2.2 (数学でよく使う集合の例)  
  1. 整数全体の集合 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots \}$ .
  2. 正の整数全体の集合 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}=\{1,2,3,4,5,\dots \}$ .
  3. 有理数全体の集合 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1306
$ =\{\dfrac{x}{y} \vert x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, y\neq 0\}$ .
  4. 実数全体の集合 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
  5. 複素数全体の集合 $ {\mathbb{C}}$ .

例えば上の(3)のように、$ x,y$ の式 $ f(x,y)$ と、 $ x,y$ を 変数とする命題 $ P(x)$ にたいして、

$\displaystyle \{f(x,y) \vert P(x,y)\}
$

なる集合を考えることができる。これは $ P(x,y)$ が真であるような $ x,y$ すべての 組について、 $ f(x,y)$ を集めてきた集合の意味である。 (タテボウ $ \vert$ のところをセミコロン $ ;$ にする書き方もある。)

微分積分学で使う「区間」についても書いておこう。

定義 2.3   実数 $ a,b$ ($ a<b$ ) について、次のように定義する。

  $\displaystyle [a,b]=\{ x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1342
$\displaystyle \vert a\leq x \leq b\}$    
  $\displaystyle (a,b]=\{ x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1345
$\displaystyle \vert a< x \leq b\}$    
  $\displaystyle [a,b)=\{ x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1348
$\displaystyle \vert a \leq x < b\}$    
  $\displaystyle (a,b)=\{ x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle \vert a< x < b\}$    

二つの集合 $ A,B$ が等しいことを示すには、 「$ x\in A$ 」 と 「$ x\in B$ 」 とが同値であることを証明するのが常道である。

問題 2.4  

$\displaystyle \{x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ; x^2 <4\} = (-2,2)
$

を示しなさい。

定義 2.4   集合 $ A,B$

$\displaystyle x \in A \implies x \in B
$

をみたすとき、$ A$$ B$部分集合である(もしくは、 $ A$$ B$ に部分集合として含まれる)といい、

$\displaystyle A \subset B
$

( $ B \supset A$ と書くこともある) で表す。

この定義と上で述べたことを用いると、

$\displaystyle A = B  {\Leftrightarrow} (A \subset B$    and $\displaystyle A \supset B)
$

であることが分かる。

次の問題も部分集合の定義に戻って考えれば良い。

問題 2.5   $ \{ x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ; x > 2\} \subset \{ x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ; x^7 >10\} $ を示しなさい。

定義 2.5   集合 $ A,B$ にたいして、

$\displaystyle A\cap B=\{ x ; x \in A$    and $\displaystyle x \in B\}
$

$\displaystyle A\cup B=\{ x ; x \in A$    or $\displaystyle x \in B\}
$

をそれぞれ $ A$$ B$ の共通部分及び和集合という。

$ A \cap B$$ A$ キャップ $ B$ とか、$ A$ インターセクション $ B$ と読む。「$ A$ かつ $ B$ 」 と読む人もいるが紛らわしいから やめておいたほうが良い。同様に、 $ A \cup B$$ A$ カップ $ B$ とか、$ A$ ユニオン $ B$ と読む。

次のことは対応する論理の結果からすぐに分かる。

問題 2.6   任意の集合 $ A,B$ に対して $ A \cap B \subset A$ $ A \subset A \cup B$ が成り立つことを示しなさい。


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2014-04-21